Determine uma equação da elipse, com excentricidade e
e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade
e cujos focos coincidem com os vértices de uma hipérbole dada pela equação
.
Matéria envolvida: Propriedades das cônicas, especialmente hipérboles e elipses, e como encontrar seus vértices e focos.
O que precisamos: Identificar os vértices da hipérbole dada, entender a relação entre os parâmetros da elipse (como excentricidade, semi-eixo maior
e semi-eixo menor
), e usar essas informações para formular a equação da elipse.
Passo 2
Vamos começar encontrando os vértices da hipérbole dada. Para isso, precisamos reescrever a equação da hipérbole em sua forma padrão.
A equação dada é:
Vamos organizar os termos:
Agora, fatoramos os coeficientes dos termos quadráticos:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos os termos necessários dentro dos parênteses:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é a forma padrão da hipérbole com eixo transversal no eixo
.
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro, onde
, então
.
O centro da hipérbole é
, então os vértices são:
Ou seja:
Passo 3
Agora que temos os vértices da hipérbole, sabemos que os focos da elipse devem coincidir com esses pontos. Portanto, os focos da elipse são
e
.
A distância entre os dois focos
é:
Teoria aplicada: Na elipse, a excentricidade
está relacionada com
e
pela fórmula:
Sabemos que
e
, então podemos encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de
usando a relação entre
,
e
na elipse:
Então,
Lembrete: Na equação padrão da elipse com eixo transversal no
:
onde
é o centro da elipse.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o centro da elipse. Como os focos são
e
, o centro é o ponto médio entre os focos:
Portanto, o centro da elipse é
.
Com todos os valores encontrados, podemos escrever a equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é:
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Determine o dominio das funções vetoriais.
a)
b)
a)
b)
Mostre que se
é a parametrização de uma reta, onde
é um intervalo. Então
e
são paralelos.
Um quadrado
tem a diagonal
contida na reta
. Sabendo que
, determine os vértices
.
Sejam
e
. O conjunto
é uma base de
?