Determine uma equação da elipse, com excentricidade e e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade e cujos focos coincidem com os vértices de uma hipérbole dada pela equação .
Matéria envolvida: Propriedades das cônicas, especialmente hipérboles e elipses, e como encontrar seus vértices e focos.
O que precisamos: Identificar os vértices da hipérbole dada, entender a relação entre os parâmetros da elipse (como excentricidade, semi-eixo maior e semi-eixo menor ), e usar essas informações para formular a equação da elipse.

Passo 2

Vamos começar encontrando os vértices da hipérbole dada. Para isso, precisamos reescrever a equação da hipérbole em sua forma padrão.
A equação dada é:
Vamos organizar os termos:
Agora, fatoramos os coeficientes dos termos quadráticos:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos os termos necessários dentro dos parênteses:
Para :
Para :
Substituindo de volta:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a forma padrão da hipérbole com eixo transversal no eixo .
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância do centro, onde , então .
O centro da hipérbole é , então os vértices são:
Ou seja:

Passo 3

Agora que temos os vértices da hipérbole, sabemos que os focos da elipse devem coincidir com esses pontos. Portanto, os focos da elipse são e .
A distância entre os dois focos é:
Teoria aplicada: Na elipse, a excentricidade está relacionada com e pela fórmula:
Sabemos que e , então podemos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de usando a relação entre , e na elipse:
Então,
Lembrete: Na equação padrão da elipse com eixo transversal no :
onde é o centro da elipse.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o centro da elipse. Como os focos são e , o centro é o ponto médio entre os focos:
Portanto, o centro da elipse é .
Com todos os valores encontrados, podemos escrever a equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:

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