Determine uma equação da elipse, com excentricidade e =13 e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole 16 x^2-9 y^2-64 x-18 y+199=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade e cujos focos coincidem com os vértices de uma hipérbole dada pela equação .
Matéria envolvida: Propriedades das cônicas, especialmente hipérboles e elipses, e como encontrar seus vértices e focos.
O que precisamos: Identificar os vértices da hipérbole dada, entender a relação entre os parâmetros da elipse (como excentricidade, semi-eixo maior e semi-eixo menor ), e usar essas informações para formular a equação da elipse.

Passo 2

Vamos começar encontrando os vértices da hipérbole dada. Para isso, precisamos reescrever a equação da hipérbole em sua forma padrão.
A equação dada é:
16x^2 - 9y^2 -64x -18y +199 = 0
Vamos organizar os termos:
16x^2 -64x -9y^2 -18y = -199
Agora, fatoramos os coeficientes dos termos quadráticos:
16(x^2 -4x) -9(y^2 +2y) = -199
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos os termos necessários dentro dos parênteses:
Para x^2 -4x +4 -4 = (x-2)^2 -4 :
y^2 +2y +1 -1 = (y+1)^2 -1
Para 16[(x-2)^2 -4] -9[(y+1)^2 -1] = -199 :
16(x-2)^2 -64 -9(y+1)^2 +9 = -199
Substituindo de volta:
16(x-2)^2 -9(y+1)^2 -55 = -199
16(x-2)^2 -9(y+1)^2 = -199 +55
Simplificando:
16(x-2)^2 -9(y+1)^2 = -144
-16144(x-2)^2 + 9144(y+1)^2 = 1
(x-2)^29 - (y+1)^216 = 1
Dividindo ambos os lados por (2 pm 3, -1) :
(5, -1) e (-1, -1)
Essa é a forma padrão da hipérbole com eixo transversal no eixo .
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância do centro, onde , então .
O centro da hipérbole é , então os vértices são:
Ou seja:

Passo 3

Agora que temos os vértices da hipérbole, sabemos que os focos da elipse devem coincidir com esses pontos. Portanto, os focos da elipse são 2c = raiz(5 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2 e 2c = raiz6^2 + 0^2 .
A distância entre os dois focos 2c = 6 é:
c = 3
e = ca
13 = 3a
a = 9
Teoria aplicada: Na elipse, a excentricidade está relacionada com e pela fórmula:
Sabemos que e , então podemos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de c^2 = a^2 - b^2 usando a relação entre 3^2 = 9^2 - b^2 , 9 = 81 - b^2 e b^2 = 81 - 9 na elipse:
b^2 = 72
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Então,
Lembrete: Na equação padrão da elipse com eixo transversal no :
onde é o centro da elipse.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o centro da elipse. Como os focos são h = 5 + (-1)2 = 2 e k = -1 + (-1)2 = -1 , o centro é o ponto médio entre os focos:
(x-2)^281 + (y+1)^272 = 1
Portanto, o centro da elipse é .
Com todos os valores encontrados, podemos escrever a equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
(x-2)^281 + (y+1)^272 = 1

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