Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada:
. Isso envolve conceitos de cálculo e geometria, especialmente no estudo de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como identificar onde a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem), como as curvas de nível se comportam e, por fim, representar graficamente a função usando ferramentas como o GeoGebra.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida.
Passo 3
A função
envolve uma raiz quadrada no denominador. Para que a função esteja definida:
- O conteúdo dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.
- O denominador não pode ser zero para evitar divisão por zero.
Portanto, precisamos que:
Passo 4
Vamos analisar a inequação
.
- Se
e , então , o que não satisfaz a inequação. - Para qualquer outro valor de
ou , será positivo, já que é a soma de quadrados.
Portanto, o domínio é todo o plano
exceto o ponto
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
Como
:
- Quanto maior o denominador
, menor será . - Quando
se aproxima de , se aproxima de 0, fazendo tender ao infinito.
Portanto,
sempre será positivo e pode assumir qualquer valor maior que zero:
Passo 6
Em seguida, vamos analisar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante
.
Definimos:
Resolvendo para
:
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem, onde:
- O eixo maior está ao longo do eixo
com comprimento . - O eixo menor está ao longo do eixo
com comprimento .
Portanto, as curvas de nível são elipses cuja forma depende do valor de
.
Passo 7
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função usando o GeoGebra. Sabemos que para cada valor de
, temos uma elipse. À medida que
aumenta, as elipses ficam menores, se aproximando do ponto
. O gráfico da função será uma superfície tridimensional onde cada ponto
tem uma altura
.
No GeoGebra, você pode inserir a função
para visualizar a superfície. Ela terá a forma de um cone alongado neste caso específico.
Resposta
O domínio da função é todo o plano
exceto o ponto
. A imagem da função é o conjunto dos números reais positivos
. As curvas de nível são elipses centradas na origem, e o gráfico da função é uma superfície tridimensional semelhante a um cone alongado. Você pode visualizar o gráfico utilizando o GeoGebra para representar a função
.