Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = 1 / raiz(4 x^2 + y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o domínio, a imagem, as curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função dada: . Isso envolve conceitos de cálculo e geometria, especialmente no estudo de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como identificar onde a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem), como as curvas de nível se comportam e, por fim, representar graficamente a função usando ferramentas como o GeoGebra.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida.

Passo 3

A função envolve uma raiz quadrada no denominador. Para que a função esteja definida:
  1. O conteúdo dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo.
  2. O denominador não pode ser zero para evitar divisão por zero.
Portanto, precisamos que:

Passo 4

Vamos analisar a inequação .
  • Se e , então , o que não satisfaz a inequação.
  • Para qualquer outro valor de ou , será positivo, já que é a soma de quadrados.
Portanto, o domínio é todo o plano exceto o ponto .

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.
Como :
  • Quanto maior o denominador , menor será .
  • Quando se aproxima de , se aproxima de 0, fazendo tender ao infinito.
Portanto, sempre será positivo e pode assumir qualquer valor maior que zero:

Passo 6

Em seguida, vamos analisar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante .
Definimos:
Resolvendo para :
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem, onde:
  • O eixo maior está ao longo do eixo com comprimento .
  • O eixo menor está ao longo do eixo com comprimento .
Portanto, as curvas de nível são elipses cuja forma depende do valor de .

Passo 7

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função usando o GeoGebra. Sabemos que para cada valor de , temos uma elipse. À medida que aumenta, as elipses ficam menores, se aproximando do ponto . O gráfico da função será uma superfície tridimensional onde cada ponto tem uma altura .
No GeoGebra, você pode inserir a função para visualizar a superfície. Ela terá a forma de um cone alongado neste caso específico.

Resposta

O domínio da função é todo o plano exceto o ponto . A imagem da função é o conjunto dos números reais positivos . As curvas de nível são elipses centradas na origem, e o gráfico da função é uma superfície tridimensional semelhante a um cone alongado. Você pode visualizar o gráfico utilizando o GeoGebra para representar a função .

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