Determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
, dada por
Além disso, esboce o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
. Além disso, devemos esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de
.
Conteúdo da matéria: Funções de duas variáveis, domínio de funções, imagem de funções, curvas de nível e representação gráfica de funções.
Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o domínio e a imagem de uma função de duas variáveis, como determinar e desenhar as curvas de nível, e como representar graficamente a função.
Passo 2
Determinar o domínio da função
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
Para
, o denominador
não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero é indefinida.
Portanto, precisamos que:
Isso significa que:
Domínio:
Passo 3
Determinar a imagem da função
.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Como
, para
diferente de zero, o valor de
pode ser qualquer número real, exceto zero (já que
não tem solução para
).
Imagem:
Passo 4
Determinar as curvas de nível da função
.
As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja:
Substituindo na função:
Isso representa uma hipérbole para cada valor constante
.
Curvas de nível:
Cada valor de
gera uma hipérbole diferente no plano
.
Passo 5
Esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de
.
-
Domínio: É todo o plano
exceto os eixos e . No esboço, omitimos as linhas dos eixos. -
Imagem: Como a imagem é
, não há representação gráfica direta, mas sabemos que pode assumir todos os valores reais exceto zero. -
Curvas de nível: São hipérboles descritas por
. Para diferentes valores de , teremos hipérboles distintas no primeiro e terceiro quadrantes (para ) e no segundo e quarto quadrantes (para ). -
Gráfico de
: A função tem um gráfico de superfície hiperbólica, caracterizado por duas folhas que se aproximam dos planos e , mas nunca os tocam.
Resposta
- Domínio:
. - Imagem:
. - Curvas de nível: Hipérboles dadas por
, onde . - Esboços: O domínio exclui os eixos
e , as curvas de nível são hipérboles no plano , e o gráfico de é uma superfície hiperbólica.