Determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função f, dada por
f(x, y) = 1/(x * y)
Além disso, esboce o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de f.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função . Além disso, devemos esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de .
Conteúdo da matéria: Funções de duas variáveis, domínio de funções, imagem de funções, curvas de nível e representação gráfica de funções.
Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o domínio e a imagem de uma função de duas variáveis, como determinar e desenhar as curvas de nível, e como representar graficamente a função.

Passo 2

Determinar o domínio da função .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
Para , o denominador não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero é indefinida.
Portanto, precisamos que:
Isso significa que:
Domínio:

Passo 3

Determinar a imagem da função .
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Como , para diferente de zero, o valor de pode ser qualquer número real, exceto zero (já que não tem solução para ).
Imagem:

Passo 4

Determinar as curvas de nível da função .
As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja:
Substituindo na função:
Isso representa uma hipérbole para cada valor constante .
Curvas de nível:
Cada valor de gera uma hipérbole diferente no plano .

Passo 5

Esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de .
  • Domínio: É todo o plano exceto os eixos e . No esboço, omitimos as linhas dos eixos.
  • Imagem: Como a imagem é , não há representação gráfica direta, mas sabemos que pode assumir todos os valores reais exceto zero.
  • Curvas de nível: São hipérboles descritas por . Para diferentes valores de , teremos hipérboles distintas no primeiro e terceiro quadrantes (para ) e no segundo e quarto quadrantes (para ).
  • Gráfico de : A função tem um gráfico de superfície hiperbólica, caracterizado por duas folhas que se aproximam dos planos e , mas nunca os tocam.

Resposta

  • Domínio: .
  • Imagem: .
  • Curvas de nível: Hipérboles dadas por , onde .
  • Esboços: O domínio exclui os eixos e , as curvas de nível são hipérboles no plano , e o gráfico de é uma superfície hiperbólica.

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