Determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
, dada por
Além disso, esboce o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
. Além disso, queremos esboçar esses elementos e o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínios de funções e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, precisamos que:
Isso significa que:
Então, o domínio da função são todos os pontos
no plano onde
é maior ou igual a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o resultado sempre será não negativo. Então:
Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Passo 4
Vamos às curvas de nível. As curvas de nível são onde a função assume um valor constante. Seja
um valor fixo. Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isolando
:
Cada curva de nível é uma parábola que abre para cima, deslocada para cima em
unidades no eixo
.
Passo 5
Por último, vamos esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico da função.
-
Domínio: É a região no plano onde
. Isso é a área acima da parábola , incluindo a própria parábola. -
Imagem: Todos os valores de
são , então no gráfico da função, (ou ) começa em 0 e vai para cima. -
Curvas de nível: Para cada valor de
, temos uma parábola . Conforme aumenta, essas parábolas se deslocam para cima. -
Gráfico da função: É uma superfície que começa na parábola
no plano e se expande para cima. Para cada ponto no domínio, o valor de é a distância vertical até a parábola .
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos
onde
. A imagem é todos os números reais não negativos (
). As curvas de nível são parábolas da forma
para cada
. Além disso, os esboços do domínio, imagem, curvas de nível e do gráfico da função foram apresentados conforme descrito.