Determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função f, dada por
f(x, y) = raiz(y - x^2)
Além disso, esboce o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função . Além disso, queremos esboçar esses elementos e o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínios de funções e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, precisamos que:
Isso significa que:
Então, o domínio da função são todos os pontos no plano onde é maior ou igual a .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, o resultado sempre será não negativo. Então:
Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos, ou seja, .

Passo 4

Vamos às curvas de nível. As curvas de nível são onde a função assume um valor constante. Seja um valor fixo. Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isolando :
Cada curva de nível é uma parábola que abre para cima, deslocada para cima em unidades no eixo .

Passo 5

Por último, vamos esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico da função.
  • Domínio: É a região no plano onde . Isso é a área acima da parábola , incluindo a própria parábola.
  • Imagem: Todos os valores de são , então no gráfico da função, (ou ) começa em 0 e vai para cima.
  • Curvas de nível: Para cada valor de , temos uma parábola . Conforme aumenta, essas parábolas se deslocam para cima.
  • Gráfico da função: É uma superfície que começa na parábola no plano e se expande para cima. Para cada ponto no domínio, o valor de é a distância vertical até a parábola .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde . A imagem é todos os números reais não negativos ( ). As curvas de nível são parábolas da forma para cada . Além disso, os esboços do domínio, imagem, curvas de nível e do gráfico da função foram apresentados conforme descrito.

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