Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(i) (10 -1; -1 10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução geral das equações , onde a matriz A é dada. Além disso, temos que classificar o equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. Para isso, vamos precisar de conceitos de equações diferenciais lineares e autovalores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por , onde I é a matriz identidade.
Matriz A:
A equação característica fica:
Calculando o determinante:
Resolvendo:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :

Resolvemos :
$$

$$
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :

Resolvemos :
$$

$$
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais. A solução geral é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. Observamos que ambos os autovalores são positivos ( e ). Em sistemas lineares, quando todos os autovalores têm partes reais positivas, o ponto de equilíbrio na origem é chamado de nó instável. Isso significa que, perto da origem, as soluções se afastam dela ao longo das direções dos autovetores.

Passo 6

Por fim, para esboçar o retrato de fase, consideramos os autovetores e os autovalores:
  • O autovetor está associado ao autovalor , indicando uma direção na qual as soluções crescem muito rapidamente.
  • O autovetor está associado ao autovalor , indicando outra direção na qual as soluções também crescem, mas um pouco menos rapidamente.
No retrato de fase, teremos trajetórias que se afastam da origem ao longo dessas duas direções principais, formando um padrão de expansão radial típico de um nó instável.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio na origem é um nó instável. O retrato de fase apresenta trajetórias que se afastam da origem ao longo das direções dos autovetores e .

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