Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(h) Dica para entender como esboçar o retrato de fase: escreva a solução na forma e^t (c1 e^t, c2). Para c1 e c2 não nulos, qual é a direção das soluções quando t -> infinito ? E qual é a direção das soluções quando t -> -infinito ?
(2 0; 0 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais da forma , onde é uma matriz dada. Além disso, precisamos classificar o equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. A matéria envolvida aqui é a teoria de sistemas lineares de equações diferenciais, onde usamos autovalores e autovetores para encontrar a solução geral. Vamos precisar identificar os autovalores da matriz , encontrar as soluções correspondentes e, com base nisso, classificar o tipo de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . A matriz dada é:
Como é uma matriz diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são e .

Passo 3

Com os autovalores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor , a solução correspondente tem a forma:
Onde é o autovetor associado a . Como a matriz é diagonal, os autovetores são simplesmente os vetores canônicos. Assim, temos:
Simplificando, a solução geral fica:

Passo 4

Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. Observamos os autovalores:
Como ambos os autovalores são positivos, isso nos diz que a origem é um nodo instável. Isso significa que as soluções se afastam da origem à medida que aumenta.

Passo 5

Por último, vamos esboçar o retrato de fase. A dica sugere escrever a solução na forma:
Isso significa que, para e não nulos:
  • Quando , , então a solução tende a na direção positiva.
  • Quando , , então a solução tende a .
O retrato de fase será formado por retas que saem da origem e se afastam para o infinito, seguindo as direções dos autovetores.

Resposta

A solução geral das equações é . O equilíbrio na origem é um nó instável, e o retrato de fase consiste em retas que se afastam da origem à medida que aumenta.

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