Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(h) Dica para entender como esboçar o retrato de fase: escreva a solução na forma
. Para
e
não nulos, qual é a direção das soluções quando
? E qual é a direção das soluções quando
?
(h) Dica para entender como esboçar o retrato de fase: escreva a solução na forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais da forma
, onde
é uma matriz dada. Além disso, precisamos classificar o equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. A matéria envolvida aqui é a teoria de sistemas lineares de equações diferenciais, onde usamos autovalores e autovetores para encontrar a solução geral. Vamos precisar identificar os autovalores da matriz
, encontrar as soluções correspondentes e, com base nisso, classificar o tipo de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. A matriz dada é:
Como
é uma matriz diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são
e
.
Passo 3
Com os autovalores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor
, a solução correspondente tem a forma:
Onde
é o autovetor associado a
. Como a matriz
é diagonal, os autovetores são simplesmente os vetores canônicos. Assim, temos:
Simplificando, a solução geral fica:
Passo 4
Agora, vamos classificar o equilíbrio na origem. Observamos os autovalores:
Como ambos os autovalores são positivos, isso nos diz que a origem é um nodo instável. Isso significa que as soluções se afastam da origem à medida que
aumenta.
Passo 5
Por último, vamos esboçar o retrato de fase. A dica sugere escrever a solução na forma:
Isso significa que, para
e
não nulos:
- Quando
, , então a solução tende a na direção positiva. - Quando
, , então a solução tende a .
O retrato de fase será formado por retas que saem da origem e se afastam para o infinito, seguindo as direções dos autovetores.
Resposta
A solução geral das equações é
. O equilíbrio na origem é um nó instável, e o retrato de fase consiste em retas que se afastam da origem à medida que
aumenta.