Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função dada:
Aqui, estamos lidando com uma função que tem um caso especial quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio (todos os valores que
pode assumir), imagem (todos os valores que
pode assumir) e como desenhar o gráfico dessa função que tem uma quebra ou ponto diferente.
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
A função está definida para todos os valores de
, inclusive
, porque nesse caso específico, a função recebe o valor 1. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Imagem: A imagem da função são todos os possíveis valores que
pode assumir. Vamos analisar cada caso:
- Para
:
Essa é uma função linear que pode assumir qualquer valor real, já que
pode ser qualquer número real diferente de -2.
- Para
:
Aqui, a função assume o valor 1 mesmo que, se usarmos a primeira parte da função,
, quando
, teríamos:
Então, essencialmente, temos um “buraco” na função em
, onde ao invés de ser 0, a função assume o valor 1.
Portanto, a imagem é todos os números reais, porque a função linear
cobre todos os reais, e temos esse ponto adicional em 1.
Passo 4
Esboço do Gráfico:
Vamos desenhar o gráfico da função
.
-
Para
: A função é , que é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto em 2. Isso significa que a reta passa pelos pontos, por exemplo, (0,2) e (1,3). -
Para
: A função tem o valor 1. Normalmente, para , se usássemos , teríamos . Mas aqui, especificamente em , a função é 1. Isso cria um ponto aberto na reta em e um ponto fechado em com valor 1.
Passos para desenhar:
- Desenhe a reta
sem o ponto em (deixe um círculo aberto em ). - Coloque um ponto sólido em
.
Isso resulta em uma reta contínua com um pequeno desvio no ponto
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
(todos os números reais) - Gráfico: Uma reta
com um círculo aberto em e um ponto sólido em