Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e fazer um esboço do gráfico da função , que é uma função por partes definida da seguinte forma:
Vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de como representar graficamente uma função por partes.

Passo 2

Dominio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a definição da nossa função , vemos que ela está definida para todos os valores de . Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos.
Então, o domínio de é:
íú

Passo 3

Imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Vamos analisar cada parte da função:
  1. Quando , .
  2. Quando (ou seja, ), .
  3. Quando , .
Portanto, os valores que pode assumir são , e .
Assim, a imagem de é:

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função por partes. Temos que plotar três segmentos distintos:
  1. Para , a função vale . Isso será uma linha horizontal em até . Como não está incluído nessa parte ( ), usamos um círculo aberto em .
  2. Para , a função vale . Isso é uma linha horizontal em de a . Aqui, ambas as pontas estão fechadas porque e estão inclusos ( ).
  3. Para , a função vale . Outra linha horizontal em a partir de . Como não está incluído ( ), colocamos um círculo aberto em .
Vamos visualizar isso:
ííí

Resposta

Portanto, o domínio da função é todos os números reais, a imagem é e o gráfico é composto por três linhas horizontais às alturas de , e , conectadas conforme descrito acima.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.