Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o domínio (os valores de x que a função pode aceitar), a imagem (os valores que a função pode gerar) e esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e valores absolutos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, pois não podemos dividir por zero.
Então, precisamos resolver :
Portanto, o domínio é todos os números reais menos .
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para entender melhor a função. Primeiro, observamos que pode ser fatorado:
Então, a função fica:
A gente sabe que o valor absoluto de um produto é o produto dos valores absolutos, então:
Agora, vamos analisar o valor de para simplificar essa fração.
Passo 4
Para simplificar, precisamos considerar duas situações:
Quando , ou seja, :
Então, a função fica:
Quando , ou seja, :
Então, a função fica:
Portanto, a função pode ser reescrita por partes:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, quais valores pode assumir.
Para :
Essa é uma função linear que aumenta sem limites, então pode ser qualquer número maior que (quando , mas não pode ser igual a 1).
Para :
Essa também é uma função linear que diminui sem limites, então pode ser qualquer número menor que (quando se aproxima de 1 pelo lado negativo).
Portanto, a imagem é .
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico da função:
Para , a função é , que é uma reta com inclinação positiva, passando pelo ponto (não incluído porque ).
Para , a função é , que é uma reta com inclinação negativa, passando pelo ponto .
Em , há uma assíntota vertical, pois a função não está definida nesse ponto.
Então, no gráfico, temos duas retas que se aproximam de de lados opostos, mas nunca se encontram nesse ponto.
Resposta
O domínio de é todos os números reais exceto . A imagem é . O gráfico de consiste em duas retas lineares: para e para , com uma assíntota vertical em .