Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender conceitos de funções exponenciais, como definir o conjunto de entradas possíveis (domínio) e os possíveis resultados (imagem), além de saber como desenhar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Nesse caso, temos no denominador. Sabemos que uma potência como está definida para todo número real . Além disso, o denominador não pode ser zero, mas nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, o domínio da função é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de . A expressão da função é . Sabendo que é sempre positivo, o inverso também é sempre positivo. Porém, temos um sinal negativo na frente, então será sempre negativo. Além disso, pode se aproximar de zero quando tende a e cresce sem limites quando tende a . Portanto, varia de 0 a , e varia de a 0. Assim, a imagem da função é .

Passo 4

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que é uma função exponencial crescente, mas como está no denominador e com um sinal negativo, o gráfico será uma reflexão em relação ao eixo .
  • Quando :
  • Quando aumenta, cresce, então diminui e se aproxima de 0.
  • Quando diminui, se aproxima de 0, então cresce sem limites e tende a .
O gráfico terá uma assíntota horizontal em e passará pelo ponto , descendo para à medida que diminui e se aproximando de 0 à medida que aumenta.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Gráfico: Uma curva exponencial decrescente que passa por , com assíntota horizontal em , aproximando-se de quando tende a e se aproximando de 0 quando tende a .

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Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
Demonstrar as seguintes identidades:
Determinar o domínio.
Esboce, no mesmo plano coordenado, os gráficos de para os valores dados de :