Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender conceitos de funções exponenciais, como definir o conjunto de entradas possíveis (domínio) e os possíveis resultados (imagem), além de saber como desenhar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nesse caso, temos
no denominador. Sabemos que uma potência como
está definida para todo número real
. Além disso, o denominador não pode ser zero, mas
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, o domínio da função é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
. A expressão da função é
. Sabendo que
é sempre positivo, o inverso
também é sempre positivo. Porém, temos um sinal negativo na frente, então
será sempre negativo. Além disso,
pode se aproximar de zero quando
tende a
e cresce sem limites quando
tende a
. Portanto,
varia de 0 a
, e
varia de
a 0. Assim, a imagem da função é
.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que
é uma função exponencial crescente, mas como está no denominador e com um sinal negativo, o gráfico será uma reflexão em relação ao eixo
.
- Quando
: - Quando
aumenta, cresce, então diminui e se aproxima de 0. - Quando
diminui, se aproxima de 0, então cresce sem limites e tende a .
O gráfico terá uma assíntota horizontal em
e passará pelo ponto
, descendo para
à medida que
diminui e se aproximando de 0 à medida que
aumenta.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
- Gráfico: Uma curva exponencial decrescente que passa por
, com assíntota horizontal em , aproximando-se de quando tende a e se aproximando de 0 quando tende a .
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Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Demonstrar as seguintes identidades:
Determinar o domínio.
Esboce, no mesmo plano coordenado, os gráficos de
para os valores dados de
: