Esboce, no mesmo plano coordenado, os gráficos de
para os valores dados de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos, no mesmo plano coordenado, os gráficos da função
para os valores de
. Aqui, vamos usar conceitos de funções e transformações gráficas para desenhar essas curvas. Precisamos entender como o valor de
afeta o gráfico da função base
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função base
. Essa função representa a parte superior de um círculo com raio 2, centrado na origem. A fórmula
descreve um círculo completo, e
é apenas a metade de cima.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos essa função por um valor constante
. A expressão geral fica
. O valor de
vai alterar o gráfico de duas maneiras:
- Quando
: O gráfico continua na parte superior do plano, mas sua “altura” é ampliada ou reduzida proporcionalmente a . - Quando
: Além de ampliar ou reduzir, o gráfico é refletido em relação ao eixo .
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada valor de
:
-
Para
: - A função é
. - Gráfico: Metade superior do círculo de raio 2, sem alteração de escala.
- A função é
-
Para
: - A função é
. - Gráfico: Metade superior do círculo de raio 2, ampliada verticalmente por um fator de 3. Ou seja, a “altura” do gráfico é três vezes maior.
- A função é
-
Para
: - A função é
. - Gráfico: Metade inferior do círculo de raio 2 (devido à reflexão pelo sinal negativo) e ampliada verticalmente por um fator de 2.
- A função é
Passo 5
Para esboçar no mesmo plano:
- Eixo
: Vai de -2 a 2, já que está definido apenas para . - Eixo
: Vamos estender o eixo para acomodar os valores máximos e mínimos das funções: - Para
, o valor máximo de será . - Para
, o valor mínimo de será .
- Para
Resposta
No mesmo plano coordenado, os gráficos das funções
para
,
e
são:
- Uma semicirculo padrão (para
) com raio 2. - Um semicirculo ampliado verticalmente por 3 vezes (para
). - Um semicirculo refletido em relação ao eixo
e ampliado por 2 vezes (para ).
Esses três gráficos estarão sobrepostos no mesmo plano coordenado, mostrando como o fator
altera a forma e a posição da função base.
Exercícios relacionados
Determinar o domínio.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Sejam
e
. Encontre:
.
Resolver as seguintes equações: