Esboce, no mesmo plano coordenado, os gráficos de para os valores dados de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos, no mesmo plano coordenado, os gráficos da função para os valores de . Aqui, vamos usar conceitos de funções e transformações gráficas para desenhar essas curvas. Precisamos entender como o valor de afeta o gráfico da função base .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função base . Essa função representa a parte superior de um círculo com raio 2, centrado na origem. A fórmula descreve um círculo completo, e é apenas a metade de cima.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos essa função por um valor constante . A expressão geral fica . O valor de vai alterar o gráfico de duas maneiras:
  • Quando : O gráfico continua na parte superior do plano, mas sua “altura” é ampliada ou reduzida proporcionalmente a .
  • Quando : Além de ampliar ou reduzir, o gráfico é refletido em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor de :
  1. Para :
    • A função é .
    • Gráfico: Metade superior do círculo de raio 2, sem alteração de escala.
  2. Para :
    • A função é .
    • Gráfico: Metade superior do círculo de raio 2, ampliada verticalmente por um fator de 3. Ou seja, a “altura” do gráfico é três vezes maior.
  3. Para :
    • A função é .
    • Gráfico: Metade inferior do círculo de raio 2 (devido à reflexão pelo sinal negativo) e ampliada verticalmente por um fator de 2.

Passo 5

Para esboçar no mesmo plano:
  • Eixo : Vai de -2 a 2, já que está definido apenas para .
  • Eixo : Vamos estender o eixo para acomodar os valores máximos e mínimos das funções:
    • Para , o valor máximo de será .
    • Para , o valor mínimo de será .

Resposta

No mesmo plano coordenado, os gráficos das funções para , e são:
  • Uma semicirculo padrão (para ) com raio 2.
  • Um semicirculo ampliado verticalmente por 3 vezes (para ).
  • Um semicirculo refletido em relação ao eixo e ampliado por 2 vezes (para ).
Esses três gráficos estarão sobrepostos no mesmo plano coordenado, mostrando como o fator altera a forma e a posição da função base.

Exercícios relacionados

Determinar o domínio.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
Sejam e . Encontre: .
Resolver as seguintes equações: