Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de domínio e imagem de funções, além de entender como funcionam funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição de , vemos que há três intervalos de :
Não há restrições adicionais, então o domínio é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir.
Analisando cada parte da função:
  1. Para : . Aqui, pode assumir qualquer valor menor ou igual a 1.
  2. Para : . Nesse intervalo, é constante e igual a 1.
  3. Para : . Conforme aumenta, diminui, assumindo valores menores que 1.
Portanto, a imagem de é todos os valores menores ou iguais a 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Para : A função é uma reta com inclinação 1. Passa pela origem e aumenta até , onde .
  2. Para : A função é constante e igual a 1. Então, é uma linha horizontal entre e .
  3. Para : A função é uma reta decrescente dada por . Quando , , e à medida que aumenta, diminui.
No gráfico, haverá pontos de transição em e , conectando as diferentes partes da função.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os valores reais menores ou iguais a 1, ou seja, .
  • Gráfico: Consiste em uma reta crescente para , uma linha horizontal em para e uma reta decrescente para .

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