Se a função vetorial descreve o movimento da partícula em função do tempo, determine o instante em que a partícula chegará na posição . Qual é o valor de a?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial que descreve o movimento de uma partícula ao longo do tempo. A função é:
Nosso objetivo é descobrir em que instante de tempo t a partícula chega na posição (6, 4, 9) e também encontrar o valor de a. Para isso, vamos precisar entender como igualar as componentes dessa função vetorial com as coordenadas da posição desejada.
Passo 2
Vamos começar igualando cada componente da função vetorial f(t) com as coordenadas da posição alvo (6, 4, 9). Isso nos dará três equações:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação para encontrar o valor de t:
Então, t = 3.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda equação usando t = 3:
Mas sabemos que , que é diferente de 2. Isso indica que há um problema, pois t não pode ser 3 e ao mesmo tempo satisfazer a segunda equação.
Passo 5
Vamos tentar resolver a segunda equação de forma independente para encontrar outro possível valor de t:
Então, t = e^{2} (onde e é aproximadamente 2.71828).
Passo 6
Agora, vamos verificar a primeira equação com t = e^{2}:
Sabemos que , que novamente não é igual a 3. Portanto, não há um valor de t que satisfaça simultaneamente as primeiras duas equações.
Passo 7
Como não conseguimos encontrar um valor de t que satisfaça ambas as primeiras equações, isso significa que não há um instante de tempo t em que a partícula atinja exatamente a posição (6, 4, 9) com a função vetorial dada.
Resposta
Não existe um valor de t que faça a partícula chegar exatamente na posição (6, 4, 9) com a função fornecida. Portanto, não é possível determinar o valor de a nesse contexto.