Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Isso envolve conceitos de funções logarítmicas e valor absoluto. Vamos precisar entender onde a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como ela se comporta graficamente.
Passo 2
Determinar o Domínio
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para funções logarítmicas, o argumento dentro do logaritmo deve ser positivo. Ou seja:
Como o valor absoluto de
é sempre positivo ou zero, a única restrição aqui é que
não pode ser zero:
Então, o domínio de
é todos os números reais exceto zero.
Passo 3
Determinar a Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Para a função
, sabemos que o logaritmo pode assumir qualquer valor real real, pois:
- Quando
, - Quando
, -
faz
Portanto, a imagem de
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 4
Esboçar o Gráfico
Vamos esboçar o gráfico de
. Primeiro, lembremos que o gráfico de
é definido somente para
. Mas, como temos
, isso significa que a função é simétrica em relação ao eixo y. Ou seja, teremos o gráfico de
no lado direito (
) e sua reflexão no lado esquerdo (
).
Pontos importantes:
- Quando
, - Conforme
se aproxima de 0, tende a - Conforme
se afasta de 1, aumenta para
O gráfico terá duas partes: uma para
e outra para
, ambas se aproximando do eixo y mas nunca tocando quando
tende a zero.
Resposta
- Domínio:
e - Imagem:
- Gráfico: Uma curva simétrica em relação ao eixo y, com as características do logaritmo base 10 em ambos os lados de
.