Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Isso envolve conceitos de funções logarítmicas e valor absoluto. Vamos precisar entender onde a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como ela se comporta graficamente.

Passo 2

Determinar o Domínio
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para funções logarítmicas, o argumento dentro do logaritmo deve ser positivo. Ou seja:
Como o valor absoluto de é sempre positivo ou zero, a única restrição aqui é que não pode ser zero:
Então, o domínio de é todos os números reais exceto zero.

Passo 3

Determinar a Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Para a função , sabemos que o logaritmo pode assumir qualquer valor real real, pois:
  • Quando ,
  • Quando ,
  • faz
Portanto, a imagem de é todos os números reais, ou seja, .

Passo 4

Esboçar o Gráfico
Vamos esboçar o gráfico de . Primeiro, lembremos que o gráfico de é definido somente para . Mas, como temos , isso significa que a função é simétrica em relação ao eixo y. Ou seja, teremos o gráfico de no lado direito ( ) e sua reflexão no lado esquerdo ( ).
Pontos importantes:
  • Quando ,
  • Conforme se aproxima de 0, tende a
  • Conforme se afasta de 1, aumenta para
O gráfico terá duas partes: uma para e outra para , ambas se aproximando do eixo y mas nunca tocando quando tende a zero.

Resposta

  • Domínio: e
  • Imagem:
  • Gráfico: Uma curva simétrica em relação ao eixo y, com as características do logaritmo base 10 em ambos os lados de .

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