Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre funções absolutas na matemática. A gente precisa descobrir três coisas sobre a função : o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que pode assumir) e desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos entender como funciona o valor absoluto e aplicar umas ideias básicas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a gente pode colocar na função sem problema algum. A função usa apenas a operação de subtração e o valor absoluto. Essas operações são válidas para qualquer número real. Então, o domínio é todos os números reais.
Matematicamente, escrevemos:
í

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem são todos os valores que pode resultar quando a gente coloca os valores do domínio. Como estamos lidando com o valor absoluto, sabemos que sempre será maior ou igual a zero, porque o valor absoluto nunca dá um número negativo.
Então, a imagem é:

Passo 4

Por último, vamos esboçar o gráfico da função . O gráfico de uma função valor absoluto tem o formato de um “V”. O ponto mais baixo desse “V” é o vértice, que acontece quando , ou seja, quando . Então, o vértice está no ponto .
Para , a função se comporta como , que é uma reta decrescente. Para , a função se comporta como , que é uma reta crescente. Juntando essas duas partes, a gente forma o “V”.

Resposta

O domínio de é , a imagem é , e o gráfico é uma forma de “V” com o vértice no ponto , descendo para a esquerda de e subindo para a direita.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações:
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
Determine uma função vetorial que represente:
a curva obtida pela interseção do cilindro e a hipérbole .