Provar que
para todo
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que para todo
. Estamos lidando com identidades trigonométricas, e para resolver, vamos precisar das definições de
,
e , além de manipular frações e simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, lembramos das definições das funções trigonométricas envolvidas:
Vamos substituir essas definições na expressão inicial.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão do lado esquerdo da igualdade:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com o lado direito da igualdade:
Substituindo :
Simplificando os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas frações:
Para somar as frações dentro do parêntese, encontramos um denominador comum:
Então:
Portanto:
Resposta
Assim, provamos que para todo
.