Provar que
2 sec(x) tg(x) = 1 / (cossec(x) - 1) + 1 / (cossec(x) + 1) para todo x em R

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que para todo . Estamos lidando com identidades trigonométricas, e para resolver, vamos precisar das definições de , e , além de manipular frações e simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, lembramos das definições das funções trigonométricas envolvidas:
Vamos substituir essas definições na expressão inicial.

Passo 3

Substituindo e na expressão do lado esquerdo da igualdade:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com o lado direito da igualdade:
Substituindo :
Simplificando os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas frações:
Para somar as frações dentro do parêntese, encontramos um denominador comum:
Então:
Portanto:

Resposta

Assim, provamos que para todo .

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