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Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a)
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções exponenciais, que é uma parte importante da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode aceitar sem problemas. Para a função exponencial
, não tem restrições: você pode colocar qualquer número real no lugar do
. Ou seja, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir. Como
é sempre positivo (porque qualquer número positivo elevado a uma potência dá um resultado positivo), a imagem será todos os números reais positivos.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que é uma curva exponencial crescente porque a base
é maior que 1. Alguns pontos importantes para desenhar o gráfico:
- Quando
, . Então, o gráfico passa pelo ponto (0, 1). - À medida que
aumenta, cresce rapidamente. - À medida que
diminui, se aproxima de 0, mas nunca toca o eixo .
Assim, o gráfico vai começar perto do eixo
para valores negativos de
e sobe rápido para a direita.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais,
. - Imagem: Todos os números reais positivos,
. - Gráfico: Uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto (0, 1), sobe rapidamente para a direita e se aproxima do eixo
à esquerda.
Exercícios relacionados
Seja
o campo vetorial em
definido por
(d) Calcule
(orientando
como indicado no item anterior). Resposta:
.
Seja
o campo vetorial em
definido por
(b) Seja
a região triangular com vértices
. Parametrize
; determine o domínio
de sua parametrização
.
(Exercício 4, seção 16.8, J. Stewart) Calcule
, onde
e
é a parte do hemisfério
que está dentro do cilindro
, orientada de modo que a primeira componente do campo normal seja positiva. Resposta:
.
Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções: