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Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) a(x) = 7^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de funções exponenciais, que é uma parte importante da matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar sem problemas. Para a função exponencial , não tem restrições: você pode colocar qualquer número real no lugar do . Ou seja, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir. Como é sempre positivo (porque qualquer número positivo elevado a uma potência dá um resultado positivo), a imagem será todos os números reais positivos.

Passo 4

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que é uma curva exponencial crescente porque a base é maior que 1. Alguns pontos importantes para desenhar o gráfico:
  • Quando , . Então, o gráfico passa pelo ponto (0, 1).
  • À medida que aumenta, cresce rapidamente.
  • À medida que diminui, se aproxima de 0, mas nunca toca o eixo .
Assim, o gráfico vai começar perto do eixo para valores negativos de e sobe rápido para a direita.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os números reais positivos, .
  • Gráfico: Uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto (0, 1), sobe rapidamente para a direita e se aproxima do eixo à esquerda.

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