(Exercício 4, seção 16.8, J. Stewart) Calcule integral duplaS rot F cdot d S, onde
F(x, y, z)=(x+arctg y z) i+y^2 z j+z k
e S é a parte do hemisfério x=raiz9-y^2-z^2 que está dentro do cilindro y^2+z^2=4, orientada de modo que a primeira componente do campo normal seja positiva. Resposta: -4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de F(x, y, z) = (x + arctan(yz)) i + y^2 z j + z k sobre a superfície . A função vetorial está definida como:
E a superfície é a parte do hemisfério dado por que está dentro do cilindro . A orientação está tal que a primeira componente do campo normal é positiva. Vamos precisar usar o teorema de Stokes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial, que em português é chamado de “rot”. O rotacional de rot F = nabla times F , denotado por nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k , mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Vamos calcular partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial zpartial y - partial (y^2 z)partial z = 0 - y^2 = -y^2 usando a fórmula:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (x + arctan(yz))partial z - partial zpartial x = y1 + (yz)^2 cdot y - 0 = y^21 + y^2 z^2
Onde:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (y^2 z)partial x - partial (x + arctan(yz))partial y = 0 - ( z1 + (yz)^2 ) = -z1 + y^2 z^2
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente rot F = -y^2 i + y^21 + y^2 z^2 j - z1 + y^2 z^2 k :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, o rotacional fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. A fórmula do teorema de Stokes é:
integral duplaS rot F cdot dS = ointpartial S F cdot dr
No nosso caso, a superfície y = 2 cos theta, z = 2 sin theta, theta in [0, 2pi] é a parte do hemisfério dentro do cilindro . A borda é o círculo onde o hemisfério corta o cilindro, ou seja, e .
Vamos parametrize esse círculo. Como , podemos usar coordenadas polares para e :
Com isso, .

Passo 4

Agora, precisamos expressar o vetor diferencial dydtheta = -2 sin theta, dzdtheta = 2 cos theta ao longo da curva dr = drdtheta dtheta = ( 0 i - 2 sin theta j + 2 cos theta k ) dtheta . Derivando as parametrizações em relação a :
Portanto:

Passo 5

Vamos agora calcular F = ( raiz5 + arctan(2 cos theta cdot 2 sin theta) ) i + (2 cos theta)^2 cdot 2 sin theta j + 2 sin theta k na borda F = ( raiz5 + arctan(4 sin theta cos theta) ) i + 8 cos^2 theta sin theta j + 2 sin theta k . Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr = ( raiz5 + arctan(4 sin theta cos theta) ) cdot 0 + 8 cos^2 theta sin theta cdot (-2 sin theta) + 2 sin theta cdot 2 cos theta :
F cdot dr = -16 cos^2 theta sin^2 theta + 4 sin theta cos theta
Simplificando:

Passo 7

Vamos integrar ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -16 cos^2 theta sin^2 theta + 4 sin theta cos theta ) dtheta de integral0^2pi -16 cos^2 theta sin^2 theta dtheta + integral0^2pi 4 sin theta cos theta dtheta a -16 cdot 18 integral0^2pi (1 - cos 4theta) dtheta = -2 [ theta - sin 4theta4 ]0^2pi = -2(2pi - 0) = -4pi :
Calculando as integrais separadamente:
A segunda integral é zero, pois é a integral de uma função ímpar em um intervalo completo.
Para a primeira integral, usamos a identidade :

Resposta

-4 pi

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1
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