(Exercício 4, seção 16.8, J. Stewart) Calcule
, onde
e
é a parte do hemisfério
que está dentro do cilindro
, orientada de modo que a primeira componente do campo normal seja positiva. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de
sobre a superfície
. A função vetorial
está definida como:
E a superfície
é a parte do hemisfério dado por
que está dentro do cilindro
. A orientação está tal que a primeira componente do campo normal é positiva. Vamos precisar usar o teorema de Stokes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial, que em português é chamado de “rot”. O rotacional de
, denotado por
, mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Vamos calcular
usando a fórmula:
Onde:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície. A fórmula do teorema de Stokes é:
No nosso caso, a superfície
é a parte do hemisfério
dentro do cilindro
. A borda
é o círculo onde o hemisfério corta o cilindro, ou seja,
e
.
Vamos parametrize esse círculo. Como
, podemos usar coordenadas polares para
e
:
Com isso,
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar o vetor diferencial
ao longo da curva
. Derivando as parametrizações em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Vamos agora calcular
na borda
. Substituindo
,
, e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos integrar
de
a
:
Calculando as integrais separadamente:
A segunda integral é zero, pois é a integral de uma função ímpar em um intervalo completo.
Para a primeira integral, usamos a identidade
:
Resposta
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1
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a)
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a)
Seja
o campo vetorial em
definido por
(d) Calcule
(orientando
como indicado no item anterior). Resposta:
.
Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
Determine, se existir, os seguintes limites:
(k)
(k)