Seja
o campo vetorial em
definido por
(d) Calcule
(orientando
como indicado no item anterior). Resposta:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. O conteúdo envolve o estudo de campos vetoriais e integrais de linha, que são conceitos fundamentais no cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva
, calcular a derivada dessa parametrização e então aplicar a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. A integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é uma forma de somar as contribuições de
ao longo de
. Matematicamente, é expressa como:
onde
é o vetor tangente à curva
.
Passo 3
Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva
. Supondo que já temos a parametrização da curva (como indicado no item anterior do exercício), digamos que a curva é parametrizada por
para
em algum intervalo
.
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada da parametrização em relação a
, ou seja,
. Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial
. Assim, teremos
.
Passo 6
Calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão em relação a
de
a
:
Após realizar os cálculos necessários (que dependem da parametrização específica de
), obtemos o valor da integral.
Resposta
Após seguir os passos acima, encontramos que
Exercícios relacionados
Seja
o campo vetorial em
definido por
(b) Seja
a região triangular com vértices
. Parametrize
; determine o domínio
de sua parametrização
.
Calcule o valor dos seguintes limites:
(
(
1
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a)
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a)
(Exercício 4, seção 16.8, J. Stewart) Calcule
, onde
e
é a parte do hemisfério
que está dentro do cilindro
, orientada de modo que a primeira componente do campo normal seja positiva. Resposta:
.