Seja F o campo vetorial em R^3 definido por
F(x, y, z)=(y+z^2) i+(x+3 z^2) j+(1+3 x+cos (z^3)) k
(d) Calcule integralC F cdot d r (orientando C como indicado no item anterior). Resposta: -5 / 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. O conteúdo envolve o estudo de campos vetoriais e integrais de linha, que são conceitos fundamentais no cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva C, calcular a derivada dessa parametrização e então aplicar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. A integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C é uma forma de somar as contribuições de F ao longo de C. Matematicamente, é expressa como:
integralC F cdot dr
onde dr é o vetor tangente à curva C.

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos parametrizar a curva C. Supondo que já temos a parametrização da curva (como indicado no item anterior do exercício), digamos que a curva é parametrizada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)) para t em algum intervalo [a, b].

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada da parametrização em relação a t, ou seja, r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ). Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial F. Assim, teremos F(r(t)) = ( y(t) + z(t)^2 ) i + ( x(t) + 3 z(t)^2 ) j + ( 1 + 3 x(t) + cos(z(t)^3) ) k.

Passo 6

Calculamos o produto escalar entre F(r(t)) e r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = ( y(t) + z(t)^2 ) dxdt + ( x(t) + 3 z(t)^2 ) dydt + ( 1 + 3 x(t) + cos(z(t)^3) ) dzdt

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão em relação a t de a a b:
integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Após realizar os cálculos necessários (que dependem da parametrização específica de C), obtemos o valor da integral.

Resposta

Após seguir os passos acima, encontramos que
integralC F cdot dr = -53

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1
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