Determine o domínio e a imagem de
.
Além disso, justifique o fato de que 5 é o único ponto de descontinuidade de
.
Além disso, justifique o fato de que 5 é o único ponto de descontinuidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função
que é definida por partes. Além disso, vamos justificar por que
é o único ponto onde a função apresenta descontinuidade. Para isso, vamos usar conceitos de funções, limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando a definição da função
:
Para
, temos a expressão
. Precisamos verificar se essa fração está definida para todos os
.
Passo 3
A fração
está definida sempre que o denominador
não for zero, ou seja, para
. Quando
, o denominador seria zero, o que não é permitido em uma fração. No entanto, a função nos dá um valor específico para
, que é
. Portanto, não há restrições adicionais para o dom��nio.
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir. Vamos analisar a expressão
:
- Quando
, , então:
- Quando
, , então:
E para
:
Passo 5
Com isso, vemos que a função
pode assumir apenas os valores 1 e -1. Portanto, a imagem de
é o conjunto
.
Passo 6
Agora, vamos justificar por que
é o único ponto de descontinuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
- Para
(approach from the right):
- Para
(approach from the left):
- O valor da função em
é .
Como os limites laterais não são iguais (
), a função não é contínua em
. Em todos os outros pontos, a função é constante (1 ou -1) e, portanto, contínua.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais,
. A imagem de
é o conjunto
. Além disso,
é o único ponto de descontinuidade da função.