Determine o domínio e a imagem de f(x) = { |x-5|/(x-5) se x ≠ 5; 1 se x = 5 }.
Além disso, justifique o fato de que 5 é o único ponto de descontinuidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função que é definida por partes. Além disso, vamos justificar por que é o único ponto onde a função apresenta descontinuidade. Para isso, vamos usar conceitos de funções, limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando a definição da função :
Para , temos a expressão . Precisamos verificar se essa fração está definida para todos os .

Passo 3

A fração está definida sempre que o denominador não for zero, ou seja, para . Quando , o denominador seria zero, o que não é permitido em uma fração. No entanto, a função nos dá um valor específico para , que é . Portanto, não há restrições adicionais para o dom��nio.

Passo 4

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir. Vamos analisar a expressão :
  • Quando , , então:
  • Quando , , então:
E para :

Passo 5

Com isso, vemos que a função pode assumir apenas os valores 1 e -1. Portanto, a imagem de é o conjunto .

Passo 6

Agora, vamos justificar por que é o único ponto de descontinuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
  • Para (approach from the right):
  • Para (approach from the left):
  • O valor da função em é .
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em . Em todos os outros pontos, a função é constante (1 ou -1) e, portanto, contínua.

Resposta

O domínio de é todos os números reais, . A imagem de é o conjunto . Além disso, é o único ponto de descontinuidade da função.

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