lim x -1 x^3+3 x^2-x-3x^3-x^2+2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com o tópico de Cálculo de Limites, especificamente avaliando o limite de uma função racional quando se aproxima de um valor específico. Para resolver isso, vamos precisar verificar se podemos simplificar a expressão ou aplicar alguma regra de limites, como a regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = -1 + 3(1) + 1 - 3 = -1 + 3 + 1 - 3 = 0 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples.
Calculando o numerador:
(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0
Calculando o denominador:
Obtemos a forma , que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir diretamente o valor do limite e precisamos de uma abordagem diferente.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação do tipo ddx(x^3 + 3x^2 - x - 3) = 3x^2 + 6x - 1 , uma das técnicas que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e, então, calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx(x^3 - x^2 + 2) = 3x^2 - 2x
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
lim x -1 3x^2 + 6x - 13x^2 - 2x
Vamos substituir 3(-1)^2 + 6(-1) - 1 = 3(1) - 6 - 1 = 3 - 6 - 1 = -4 novamente:
Calculando o numerador:
3(-1)^2 - 2(-1) = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5
Calculando o denominador:

Resposta

lim x -1 x^3+3 x^2-x-3x^3-x^2+2 = -45

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