Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
(a) (1 - raiz(3) * i)^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a potência usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é super útil quando lidamos com números complexos elevados a potências. Para isso, vamos precisar converter o número complexo para a forma trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma trigonométrica . Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento .

Passo 3

O módulo é calculado pela fórmula:
onde e . Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . A fórmula é:
Substituindo:
Mas como o ângulo está no quarto quadrante, podemos escrever .

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever o número na forma trigonométrica:

Passo 6

Aplicando o Teorema de De Moivre, que diz que , com :

Passo 7

Calculando :
E os ângulos:
Como os ângulos são periódicos com período :
Então:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

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