Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a potência
usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é super útil quando lidamos com números complexos elevados a potências. Para isso, vamos precisar converter o número complexo para a forma trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma trigonométrica . Para isso, precisamos encontrar o módulo
e o argumento
.
Passo 3
O módulo
é calculado pela fórmula:
onde
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. A fórmula é:
Substituindo:
Mas como o ângulo está no quarto quadrante, podemos escrever
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever o número na forma trigonométrica:
Passo 6
Aplicando o Teorema de De Moivre, que diz que , com
:
Passo 7
Calculando
:
E os ângulos:
Como os ângulos são periódicos com período
:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta: