Faça como no Exemplo 5 e encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
d/dx y = y^2 sen(x^2), y(-2) = 1/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente uma que pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar de . Começamos dividindo ambos os lados por :
Assim, conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é direta, mas a do lado direito é um pouco mais complicada.

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

A integral do lado direito, , não tem uma solução em termos de funções elementares. No entanto, podemos expressá-la usando a função de Fresnel, que é uma função especial definida por:
Mas para simplificar, vamos manter a integral nessa forma.

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e na equação:
Simplificando:
Aqui, a integral é uma constante, então podemos considerar que ajusta para que a igualdade seja satisfeita.

Passo 8

Resolvendo para :
Portanto:

Passo 9

Substituindo de volta na equação de :
Isso indica que a solução explícita para o problema de valor inicial é:

Resposta

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