Faça como no Exemplo 5 e encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente uma que pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar
de
. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Assim, conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é direta, mas a do lado direito é um pouco mais complicada.
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
A integral do lado direito,
, não tem uma solução em termos de funções elementares. No entanto, podemos expressá-la usando a função de Fresnel, que é uma função especial definida por:
Mas para simplificar, vamos manter a integral nessa forma.
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Aqui, a integral
é uma constante, então podemos considerar que
ajusta para que a igualdade seja satisfeita.
Passo 8
Resolvendo para
:
Portanto:
Passo 9
Substituindo
de volta na equação de
:
Isso indica que a solução explícita para o problema de valor inicial é: