Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função dada, além de desenhar um esboço do gráfico dela. Estamos lidando com uma função definida por partes, ou seja, diferentes expressões para diferentes intervalos de . Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função:
Vemos que para qualquer valor de , há uma expressão definida. Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de . Vamos analisar cada parte da função:
  1. Para :
    Essa é uma reta com inclinação 1. À medida que diminui (vai para menos infinito), também diminui sem limites. Quando se aproxima de -2, se aproxima de 1.
  2. Para :
    Essa é uma parábola que abre para baixo. O valor máximo ocorre no vértice ( ), onde . Nos extremos ( e ), .
  3. Para :
    Outra reta, agora com inclinação -1. Conforme aumenta, diminui. Quando se aproxima de 2, se aproxima de 1.
Juntando tudo, a função pode assumir qualquer valor menor ou igual a 4. Portanto, a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 4.

Passo 4

Por fim, vamos pensar no esboço do gráfico:
  • Para : Uma reta que desce até , onde é 1.
  • Para : Uma parábola invertida que atinge o ponto mais alto em e toca o eixo em e .
  • Para : Outra reta que desce partindo de para o infinito negativo.

Resposta

Domínio: (todos os números reais).
Imagem: .

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