Seja a superfície parametrizada por
(a) Identifique a superfície . Ela é regular?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma superfície parametrizada chamada definida pela função , onde varia de a e de ao infinito. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de superfície é essa e verificar se ela é regular. Para isso, vamos precisar entender o que é uma superfície parametrizada e o que significa ser regular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície . A função nos dá as coordenadas , e em termos de e . Observando as primeiras duas componentes, e , notamos que elas representam as coordenadas polares no plano . Isso sugere que, para cada valor de , estamos descrevendo um círculo no plano com raio .
A terceira componente, , nos mostra como o varia com . À medida que aumenta, diminui quadráticamente. Isso indica que a superfície provavelmente tem uma curvatura descendente à medida que nos afastamos do centro.
Para identificar a superfície, podemos tentar eliminar os parâmetros e . Sabemos que em coordenadas polares, e . Podemos usar a relação para substituir na equação de :
Então, a equação da superfície em termos de e é:
Isso nos mostra que a superfície é um paraboloide circular, que abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a superfície é regular. Uma superfície parametrizada é considerada regular se os vetores tangentes parciais e são linearmente independentes em todos os pontos da superfície.
Calculando as derivadas parciais:
Para verificar a independência linear, calculamos o determinante do produto vetorial desses vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :
A norma desse vetor não é zero para , o que significa que os vetores tangentes são linearmente independentes em todos os pontos onde . Portanto, a superfície é regular para .

Resposta

A superfície é um paraboloide circular que abre para baixo, definida pela equação . Além disso, é regular para todos os pontos onde .

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