Mostre que se
, então
. Mostre que a recíproca desse resultado é falsa.
Sugestão: Demonstre e use
, para quaisquer
.
Sugestão: Demonstre e use
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que se a sequência
converge para
, ou seja,
, então a sequência dos valores absolutos também converge para
, isto é,
. Além disso, precisamos mostrar que a recíproca dessa afirmação não é verdadeira. Para isso, vamos usar a desigualdade
para quaisquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
significa que, para qualquer
, existe um número
tal que para todo
, a diferença entre
e
é menor que
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
. Para isso, vamos utilizar a desigualdade
. Aplicando essa desigualdade com
e
, temos:
Passo 4
Sabemos que
, então
. Pela desigualdade que obtivemos, temos:
Isso implica que:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a recíproca não é verdadeira. Ou seja, mesmo que
, não necessariamente
.
Considere a seguinte sequência:
. Observemos que:
Portanto,
, assumindo
. No entanto, a sequência
não converge para
, pois ela oscila entre
e
indefinidamente.
Resposta
Mostramos que se
, então
. Além disso, a recíproca é falsa, como ilustrado pela sequência
, onde
, mas
não existe.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
Encontre o limite.
.
Seja
a superfície parametrizada por
(a) Identifique a superfície
. Ela é regular?
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.