Mostre que se lim n infty an=a, então lim n infty|an|=|a|. Mostre que a recíproca desse resultado é falsa.
Sugestão: Demonstre e use | x|-|y|| <=|x-y|, para quaisquer x, y in R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que se a sequência (an) converge para a, ou seja, lim n infty an=a, então a sequência dos valores absolutos também converge para |a|, isto é, lim n infty|an|=|a|. Além disso, precisamos mostrar que a recíproca dessa afirmação não é verdadeira. Para isso, vamos usar a desigualdade ||x| - |y|| <= |x - y| para quaisquer x, y in R.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição de limite de uma sequência. Dizemos que lim n infty an=a significa que, para qualquer epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n >= N, a diferença entre an e a é menor que epsilon, ou seja, |an - a| < epsilon.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que lim n infty|an|=|a|. Para isso, vamos utilizar a desigualdade ||x| - |y|| <= |x - y|. Aplicando essa desigualdade com x = an e y = a, temos:
||an| - |a|| <= |an - a|

Passo 4

Sabemos que lim n infty an=a, então lim n infty |an - a| = 0. Pela desigualdade que obtivemos, temos:
lim n infty ||an| - |a|| <= lim n infty |an - a| = 0
Isso implica que:
lim n infty |an| = |a|

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a recíproca não é verdadeira. Ou seja, mesmo que lim n infty|an|=|a|, não necessariamente lim n infty an=a.
Considere a seguinte sequência: an = (-1)^n. Observemos que:
|an| = |(-1)^n| = 1
Portanto, lim n infty |an| = 1 = |0|, assumindo a = 0. No entanto, a sequência an = (-1)^n não converge para 0, pois ela oscila entre 1 e -1 indefinidamente.

Resposta

Mostramos que se lim n infty an=a, então lim n infty|an|=|a|. Além disso, a recíproca é falsa, como ilustrado pela sequência an = (-1)^n, onde lim n infty|an|=1, mas lim n infty an não existe.

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