Mostre que se , então . Mostre que a recíproca desse resultado é falsa.
Sugestão: Demonstre e use , para quaisquer .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que se a sequência converge para , ou seja, , então a sequência dos valores absolutos também converge para , isto é, . Além disso, precisamos mostrar que a recíproca dessa afirmação não é verdadeira. Para isso, vamos usar a desigualdade para quaisquer .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição de limite de uma sequência. Dizemos que significa que, para qualquer , existe um número tal que para todo , a diferença entre e é menor que , ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que . Para isso, vamos utilizar a desigualdade . Aplicando essa desigualdade com e , temos:

Passo 4

Sabemos que , então . Pela desigualdade que obtivemos, temos:
Isso implica que:

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a recíproca não é verdadeira. Ou seja, mesmo que , não necessariamente .
Considere a seguinte sequência: . Observemos que:
Portanto, , assumindo . No entanto, a sequência não converge para , pois ela oscila entre e indefinidamente.

Resposta

Mostramos que se , então . Além disso, a recíproca é falsa, como ilustrado pela sequência , onde , mas não existe.

Exercícios relacionados

Determine o conjunto solução da desigualdade em .
Encontre o limite.
.
Seja a superfície parametrizada por
(a) Identifique a superfície . Ela é regular?
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.