Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
g F(x) = 4 - |x|

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos determinar o domínio e a imagem da função e também desenhar um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de como trabalhar com a função valor absoluto.

Passo 2

Domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na função , temos o valor absoluto , que está definido para qualquer número real. Isso significa que não há restrições para os valores de .
Então, o domínio da função é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Imagem da função:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir. Vamos analisar a função .
Sabemos que o valor absoluto sempre resulta em um número não negativo ( ). Portanto:
  • Quando : .
  • À medida que aumenta, diminui.
Isso significa que o valor máximo de é 4, e ele diminui à medida que se afasta de 0 em qualquer direção. Não há um limite inferior para , então a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a 4, ou seja, .

Passo 4

Esboço do gráfico:
Vamos construir o esboço do gráfico da função :
  1. Vértice: O ponto mais alto do gráfico é quando . Calculando:
    Então, o vértice é o ponto (0, 4).
  2. Ramos da função:
    • Para : É uma reta que desce conforme aumenta.
    • Para : É uma reta que também desce conforme diminui (isto é, aumentando em direção ao negativo).
  3. Formato do gráfico: O gráfico forma uma letra “V” invertida, com o vértice no ponto (0, 4) e se estendendo para baixo nos dois lados.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: .
  • Gráfico: Uma “V” invertida com vértice no ponto (0, 4), estendendo-se para baixo nos dois lados.

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