Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos determinar o domínio e a imagem da função
e também desenhar um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de como trabalhar com a função valor absoluto.
Passo 2
Domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na função
, temos o valor absoluto
, que está definido para qualquer número real. Isso significa que não há restrições para os valores de
.
Então, o domínio da função
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Imagem da função:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir. Vamos analisar a função
.
Sabemos que o valor absoluto
sempre resulta em um número não negativo (
). Portanto:
- Quando
: . - À medida que
aumenta, diminui.
Isso significa que o valor máximo de
é 4, e ele diminui à medida que
se afasta de 0 em qualquer direção. Não há um limite inferior para
, então a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a 4, ou seja,
.
Passo 4
Esboço do gráfico:
Vamos construir o esboço do gráfico da função
:
-
Vértice: O ponto mais alto do gráfico é quando
. Calculando: Então, o vértice é o ponto (0, 4). -
Ramos da função:
- Para
: É uma reta que desce conforme aumenta. - Para
: É uma reta que também desce conforme diminui (isto é, aumentando em direção ao negativo).
- Para
-
Formato do gráfico: O gráfico forma uma letra “V” invertida, com o vértice no ponto (0, 4) e se estendendo para baixo nos dois lados.
Resposta
-
Domínio:
(todos os números reais). -
Imagem:
. -
Gráfico: Uma “V” invertida com vértice no ponto (0, 4), estendendo-se para baixo nos dois lados.
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Expresse cada uma das seguintes funções como função composta
; indicando
e
:
f
f
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.
Expresse cada uma das seguintes funções como função composta
; indicando
e
:
a
a
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; indicando
e
:
e
e