Encontre as superficies de nivel da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrarmos as superfícies de nível da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas são formadas a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis
é o conjunto de pontos
que fazem a função assumir um valor constante
. Ou seja, para um certo
, temos:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, substituímos por
:
Essa é a equação geral das superfícies de nível para a função dada.
Passo 4
Agora, vamos analisar que tipo de superfície essa equação representa. A forma
é uma equação de elipsoide quando
. Um elipsoide é uma superfície três-dimensional semelhante a uma esfera, mas com diferentes “comprimentos” nos eixos
,
e
.
Passo 5
Então, cada valor positivo de
gera um elipsoide diferente. Se aumentarmos
, o elipsoide fica maior, e se diminuirmos, ele fica menor. Além disso, os coeficientes de
,
e
determinam as “escalas” em cada direção.
Resposta
As superfícies de nível da função
são elipsoides definidos pela equação
, onde
é uma constante positiva.
Exercícios relacionados
Se
para todo
em
, será que também,
?
Sejam
e
dois vetores não nulos em
. Prove que o vetor
determina a bisectriz entre
e
.
Expresse cada uma das seguintes funções como função composta
; indicando
e
:
f
f
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico: