Encontre as superficies de nivel da função f(x, y, z) = 4x^2 + y^2 + 9z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrarmos as superfícies de nível da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas são formadas a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis é o conjunto de pontos que fazem a função assumir um valor constante . Ou seja, para um certo , temos:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , substituímos por :
Essa é a equação geral das superfícies de nível para a função dada.

Passo 4

Agora, vamos analisar que tipo de superfície essa equação representa. A forma é uma equação de elipsoide quando . Um elipsoide é uma superfície três-dimensional semelhante a uma esfera, mas com diferentes “comprimentos” nos eixos , e .

Passo 5

Então, cada valor positivo de gera um elipsoide diferente. Se aumentarmos , o elipsoide fica maior, e se diminuirmos, ele fica menor. Além disso, os coeficientes de , e determinam as “escalas” em cada direção.

Resposta

As superfícies de nível da função são elipsoides definidos pela equação , onde é uma constante positiva.

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