Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função , e também desenhar um esboço do gráfico dessa função. O que isso significa na prática? Bom, domínio é basicamente todos os valores de que a função aceita, ou seja, onde ela está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, os que a gente pode obter. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função :
Essa é uma função definida por partes, ou seja, ela tem diferentes comportamentos dependendo do valor de .
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição de , vemos que não há restrições nos valores de ; ela está definida para qualquer número real. Então:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de saída de . Olhando para a definição:
Quando , .
Quando , .
Portanto, os únicos valores que pode assumir são -2 e 2. Assim:
Passo 5
Por último, vamos desenhar o esboço do gráfico da função . Como é constante em cada intervalo definido:
Para , o gráfico será uma linha horizontal no valor -2.
Para , o gráfico será uma linha horizontal no valor 2.
No ponto , a função assume o valor -2, então colocamos um círculo fechado nesse ponto.
Quando passa de 3 para valores maiores, há uma “salto” para o valor 2, então colocamos um círculo aberto em para indicar que o valor 2 não inclui .
Resposta
Domínio de : (todos os reais)
Imagem de :
Esboço do gráfico:
Gráfico: Duas linhas horizontais, uma em para com um círculo fechado em , e outra em para com um círculo aberto em .