Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função
, e também desenhar um esboço do gráfico dessa função. O que isso significa na prática? Bom, domínio é basicamente todos os valores de
que a função aceita, ou seja, onde ela está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, os
que a gente pode obter. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função
:
Essa é uma função definida por partes, ou seja, ela tem diferentes comportamentos dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Observando a definição de
, vemos que não há restrições nos valores de
; ela está definida para qualquer número real. Então:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de saída de
. Olhando para a definição:
- Quando
, . - Quando
, .
Portanto, os únicos valores que
pode assumir são -2 e 2. Assim:
Passo 5
Por último, vamos desenhar o esboço do gráfico da função
. Como
é constante em cada intervalo definido:
- Para
, o gráfico será uma linha horizontal no valor -2. - Para
, o gráfico será uma linha horizontal no valor 2. - No ponto
, a função assume o valor -2, então colocamos um círculo fechado nesse ponto. - Quando
passa de 3 para valores maiores, há uma “salto” para o valor 2, então colocamos um círculo aberto em para indicar que o valor 2 não inclui .
Resposta
Domínio de
:
(todos os reais)
Imagem de
:
Esboço do gráfico:
Gráfico: Duas linhas horizontais, uma em
para
com um círculo fechado em
, e outra em
para
com um círculo aberto em
.