Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
j f(x) = { x + 6, se x <= -4; raiz(16 - x^2), se -4 < x < 4; 6 - x, se x >= 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função , além de desenhar um esboço do gráfico dela. A função é definida por partes, então vamos precisar usar conceitos de funções definidas por partes e entender como cada segmento se comporta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que seria o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a função é dividida em três partes, precisamos verificar o domínio de cada uma delas.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função:
  1. Para : A expressão é . Essa é uma função polinomial simples, definida para qualquer , mas aqui ela é limitada para .
  2. Para : A expressão é . A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero. Então, precisamos que .
  3. Para : A expressão é . Assim como a primeira parte, é uma função linear definida para .

Passo 4

Vamos resolver a condição para a segunda parte:
Mas, de acordo com a definição da função, essa parte está restrita a . Então, o domínio dessa parte é já garantido por essa desigualdade.

Passo 5

Agora, combinando todas as partes, o domínio da função é:
Simplificando, o domínio é todos os números reais, já que não há restrições fora dos intervalos já definidos.

Passo 6

Vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de .
  1. Para : . Essa é uma reta crescente. Quando , . À medida que diminui, também diminui sem limite inferior.
  2. Para : . Essa é a equação de um semicírculo com raio 4. O valor máximo ocorre em : . O valor mínimo é 0, que ocorre quando .
  3. Para : . Essa é uma reta decrescente. Quando , . À medida que aumenta, diminui sem limite inferior.

Passo 7

Unindo tudo, a imagem da função é:
Ou seja, a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 4.

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico da função:
  1. Para : Desenhamos uma reta com inclinação 1 passando pelo ponto e indo para baixo à esquerda.
  2. Para : Desenhamos a parte superior de um círculo (semicírculo) com raio 4, centrado na origem.
  3. Para : Desenhamos uma reta com inclinação -1 começando no ponto e indo para baixo à direita.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ) e a imagem é todos os valores reais menores ou iguais a 4. O gráfico da função consiste em duas retas que se conectam através de um semicírculo no intervalo de .

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e y = |2x - 1|
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a y = (x + 2)^10
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
h G(x) = {-2, se x <= 3; 2, se x > 3}
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