Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
j
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função , além de desenhar um esboço do gráfico dela. A função é definida por partes, então vamos precisar usar conceitos de funções definidas por partes e entender como cada segmento se comporta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que seria o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a função é dividida em três partes, precisamos verificar o domínio de cada uma delas.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função:
Para : A expressão é . Essa é uma função polinomial simples, definida para qualquer , mas aqui ela é limitada para .
Para : A expressão é . A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero. Então, precisamos que .
Para : A expressão é . Assim como a primeira parte, é uma função linear definida para .
Passo 4
Vamos resolver a condição para a segunda parte:
Mas, de acordo com a definição da função, essa parte está restrita a . Então, o domínio dessa parte é já garantido por essa desigualdade.
Passo 5
Agora, combinando todas as partes, o domínio da função é:
Simplificando, o domínio é todos os números reais, já que não há restrições fora dos intervalos já definidos.
Passo 6
Vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de .
Para :. Essa é uma reta crescente. Quando , . À medida que diminui, também diminui sem limite inferior.
Para :. Essa é a equação de um semicírculo com raio 4. O valor máximo ocorre em : . O valor mínimo é 0, que ocorre quando .
Para :. Essa é uma reta decrescente. Quando , . À medida que aumenta, diminui sem limite inferior.
Passo 7
Unindo tudo, a imagem da função é:
Ou seja, a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 4.
Passo 8
Agora, vamos esboçar o gráfico da função:
Para : Desenhamos uma reta com inclinação 1 passando pelo ponto e indo para baixo à esquerda.
Para : Desenhamos a parte superior de um círculo (semicírculo) com raio 4, centrado na origem.
Para : Desenhamos uma reta com inclinação -1 começando no ponto e indo para baixo à direita.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais () e a imagem é todos os valores reais menores ou iguais a 4. O gráfico da função consiste em duas retas que se conectam através de um semicírculo no intervalo de .