Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico:
if
se
se
if
se
se
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função dada, além de desenhar um esboço do seu gráfico. A função é definida por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções, domínio, imagem e como representar graficamente funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dada:
Aqui, a função
tem duas regras:
-
para todos os valores de diferentes de 2. -
quando é igual a 2.
Passo 3
Dominio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Neste caso, a função está definida para todos os valores de
. Mesmo em
, a função tem um valor específico (
). Portanto, o domínio é:
Passo 4
Imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar as duas partes da função:
- Para
, é uma função linear que pode assumir qualquer valor real, já que varia em . - Para
, .
Apesar da função linear poder assumir qualquer valor, no ponto
, a função tem o valor fixo de -2. Portanto, a imagem da função também é todo o conjunto dos números reais, já que não há restrição nos valores que
pode assumir.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função:
- Para
, plotamos a reta . - No ponto
, em vez de seguir a reta, colocamos um ponto fechado em .
Isso significa que, na reta
, temos uma descontinuidade no ponto
. A função “pula” para o valor
nesse ponto específico.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
(todos os números reais).
O gráfico da função é uma reta
com um ponto fechado em
, indicando a descontinuidade no valor
.