Determine o domínio, a imagem da função, e esboce o gráfico: y = {-1, se x <= -1; 2, se -1 < x <= 2; 5, se 2 < x}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A gente precisa descobrir três coisas: o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores de que a função pode produzir) e esboçar o gráfico dessa função. Vamos usar conceitos básicos de funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Na nossa função:
  • Para , a função está definida.
  • Para , a função também está definida.
  • Para , a função está definida novamente.
Juntando tudo, a função está definida para todos os números reais. Então, o domínio é:
í

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Analisando cada parte da função:
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, os únicos valores de que aparecem são , e . Portanto, a imagem é:

Passo 4

Hora de esboçar o gráfico! Vamos plotar cada parte da função:
  • Para : A função é constante em . Isso é uma reta horizontal ao nível de . Como inclui , desenhamos um círculo preenchido em .
  • Para : A função é constante em . Outra reta horizontal, agora no nível de . Inclui , então um círculo preenchido em . Em , não inclui porque já foi definido na primeira parte, então desenha um círculo aberto em .
  • Para : A função é constante em . Mais uma reta horizontal no nível de . Não inclui , então um círculo aberto em .
O gráfico fica assim com três segmentos de retas horizontais, conectados conforme descrito.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: .
  • Gráfico: Três retas horizontais nos níveis de , e , conectadas conforme as condições de descritas acima.

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