Determine o domínio, a imagem da função, e esboce o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A gente precisa descobrir três coisas: o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores de que a função pode produzir) e esboçar o gráfico dessa função. Vamos usar conceitos básicos de funções por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Na nossa função:
Para , a função está definida.
Para , a função também está definida.
Para , a função está definida novamente.
Juntando tudo, a função está definida para todos os números reais. Então, o domínio é:
í
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Analisando cada parte da função:
Quando , .
Quando , .
Quando , .
Então, os únicos valores de que aparecem são , e . Portanto, a imagem é:
Passo 4
Hora de esboçar o gráfico! Vamos plotar cada parte da função:
Para : A função é constante em . Isso é uma reta horizontal ao nível de . Como inclui , desenhamos um círculo preenchido em .
Para : A função é constante em . Outra reta horizontal, agora no nível de . Inclui , então um círculo preenchido em . Em , não inclui porque já foi definido na primeira parte, então desenha um círculo aberto em .
Para : A função é constante em . Mais uma reta horizontal no nível de . Não inclui , então um círculo aberto em .
O gráfico fica assim com três segmentos de retas horizontais, conectados conforme descrito.
Resposta
Domínio: (todos os números reais).
Imagem: .
Gráfico: Três retas horizontais nos níveis de , e , conectadas conforme as condições de descritas acima.