Determine
f) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item (e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para determinar o volume de um sólido que é formado quando a região hachurada do item (e) é girada em torno do eixo (o eixo vertical). Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de volumes de sólidos de revolução. Precisamos conhecer um pouco sobre cálculo integral e métodos de integração para volumes de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual método usar. Para girar em torno do eixo , o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) é bastante útil. Esse método envolve integrar a área das cascas cilíndricas que formam o sólido.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas utiliza a seguinte fórmula para o volume :
Aqui:
  • é a distância do elemento à rotação (no eixo ).
  • é a função que descreve a borda da região hachurada.
  • é o intervalo de que define a região a ser girada.

Passo 4

Vamos supor que a região hachurada está definida pelas funções e entre e . O volume será então:
Isso porque representa a altura da casca cilíndrica em cada ponto .

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão. Para isso:
  1. Multiplicamos pela diferença .
  2. Integrar essa expressão de a para encontrar o volume total.

Passo 6

Vamos fazer um exemplo simplificado. Suponha que e , e queremos girar essa região de a em torno do eixo .
Então, o volume seria:

Passo 7

Integrando :
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Calculando :
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região hachurada em torno do eixo é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados