Determine
f) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item (e)
f) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item (e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para determinar o volume de um sólido que é formado quando a região hachurada do item (e) é girada em torno do eixo
(o eixo vertical). Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de volumes de sólidos de revolução. Precisamos conhecer um pouco sobre cálculo integral e métodos de integração para volumes de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual método usar. Para girar em torno do eixo
, o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) é bastante útil. Esse método envolve integrar a área das cascas cilíndricas que formam o sólido.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas utiliza a seguinte fórmula para o volume
:
Aqui:
-
é a distância do elemento à rotação (no eixo ). -
é a função que descreve a borda da região hachurada. -
é o intervalo de que define a região a ser girada.
Passo 4
Vamos supor que a região hachurada está definida pelas funções
e
entre
e
. O volume será então:
Isso porque
representa a altura da casca cilíndrica em cada ponto
.
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão. Para isso:
- Multiplicamos
pela diferença . - Integrar essa expressão de
a para encontrar o volume total.
Passo 6
Vamos fazer um exemplo simplificado. Suponha que
e
, e queremos girar essa região de
a
em torno do eixo
.
Então, o volume seria:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região hachurada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.