Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções e radiciação. Vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz é válida e quais são os valores que a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero para que a expressão seja real. Então, temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade :
Para resolver isso, pensamos nos valores de que, ao serem elevados ao quadrado, resultam em números maiores ou iguais a 1. Isso acontece quando está menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Então:

Passo 4

Com isso, o domínio da função é:
Isso significa que está definida para todos os que são menores ou iguais a -1 ou maiores ou iguais a 1.

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Observando a função , sabemos que a raiz quadrada sempre dá resultados não negativos. O menor valor ocorre quando :
E conforme se afasta de 1 ou -1, o valor de aumenta sem limite superior. Então, a imagem é:

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

Exercícios relacionados

Obtenha os valores constantes e tais que: .
Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir: