Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções e radiciação. Vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz é válida e quais são os valores que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero para que a expressão seja real. Então, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
:
Para resolver isso, pensamos nos valores de
que, ao serem elevados ao quadrado, resultam em números maiores ou iguais a 1. Isso acontece quando
está menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Então:
Passo 4
Com isso, o domínio da função
é:
Isso significa que
está definida para todos os
que são menores ou iguais a -1 ou maiores ou iguais a 1.
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Observando a função
, sabemos que a raiz quadrada sempre dá resultados não negativos. O menor valor ocorre quando
:
E conforme
se afasta de 1 ou -1, o valor de
aumenta sem limite superior. Então, a imagem é:
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
.
Exercícios relacionados
Obtenha os valores constantes
e
tais que:
.
Determine as funções elementares
e
de modo que
, quando
é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir: