Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função está definida.
A função tem uma fração, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. No nosso caso, o denominador é .
Agora, vamos pensar: quando é que ?
Então, o denominador será zero quando . Isso significa que a função não está definida para .
Como a raiz cúbica está definida para qualquer número real (positivos, negativos ou zero), não há outras restrições no domínio.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis que pode assumir.
O numerador da função é . Sabemos que é sempre maior ou igual a 0, então é sempre maior ou igual a 1.
O denominador é , que pode ser qualquer número real diferente de zero (já que ).
Então, pode assumir qualquer valor real, porque o numerador é sempre positivo e o denominador pode ser positivo ou negativo, fazendo com que o quociente cubra todos os reais.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais exceto .
  • Imagem: Todos os números reais.

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Obtenha os valores constantes e tais que: .
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