Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função
. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais e raízes cúbicas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função está definida.
A função tem uma fração, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. No nosso caso, o denominador é
.
Agora, vamos pensar: quando é que
?
Então, o denominador será zero quando
. Isso significa que a função não está definida para
.
Como a raiz cúbica está definida para qualquer número real (positivos, negativos ou zero), não há outras restrições no domínio.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis que
pode assumir.
O numerador da função é
. Sabemos que
é sempre maior ou igual a 0, então
é sempre maior ou igual a 1.
O denominador é
, que pode ser qualquer número real diferente de zero (já que
).
Então,
pode assumir qualquer valor real, porque o numerador é sempre positivo e o denominador pode ser positivo ou negativo, fazendo com que o quociente cubra todos os reais.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais exceto
. - Imagem: Todos os números reais.
Exercícios relacionados
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Obtenha os valores constantes
e
tais que:
.
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir: