Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas funções elementares, e , de modo que, ao compor dentro de , a gente obtenha a função . Esse tipo de problema entra na área de composição de funções, onde combinamos duas funções para formar uma nova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é função composta. Se temos duas funções e , a composição significa que a gente passa o resultado de como entrada para . Ou seja, . Nosso objetivo é achar e de tal forma que essa composição seja igual a .

Passo 3

Vamos analisar a função . Observamos que dentro do seno tem uma expressão . Isso sugere que podemos separar essa parte interna para ser uma função . Então, vamos definir:
Assim, pega , eleva ao quadrado e adiciona 4.

Passo 4

Agora, precisamos definir a função de forma que, ao receber como entrada, ela aplique o seno a esse valor. Portanto, deve ser o seno de :
Dessa forma, ao compor com , temos:

Resposta

As funções são:

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Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Resolva as inequações a seguir:
Obtenha os valores constantes e tais que: .
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir: