Determine o domínio e a imagem das funções a seguir: m(x) = raiz(2x - 5) / (x^3 + 1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções, especificamente sobre onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que tornam a função válida. Olhando para a função , temos dois pontos importantes:
  1. A raiz de quarto grau no numerador.
  2. O denominador .
Vamos analisar cada um deles.

Passo 3

Começando pela raiz de quarto grau. Para que a raiz seja válida, o que está dentro dela, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero (porque não podemos extrair raiz par de número negativo). Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, deve ser maior ou igual a .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador . A função não está definida quando o denominador é igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, precisamos garantir que:

Passo 5

Juntando as duas condições que encontramos:
Como já é maior que , a segunda condição ( ) não interfere no domínio que já começamos a definir. Portanto, a única restrição que importa é .

Resposta

Domínio:
Imagem: Todos os valores reais não negativos, ou seja, .

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