Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função . Vamos usar conceitos de funções, especificamente entendendo onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , percebemos que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Então, vamos resolver a equação do denominador para encontrar os valores de que devem ser excluídos do domínio:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Portanto, e são os valores que fazem o denominador zero e, por isso, devem ser excluídos do domínio.

Passo 5

Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto e . Em notação matemática:
í

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir. Para isso, vamos resolver a equação para em termos de .

Passo 7

Começamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Distribuindo :

Passo 9

Rearranjando os termos para formar uma equação quadrática em :

Passo 10

Essa é uma equação quadrática na forma , onde , e . Para que essa equação tenha soluções reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero:

Passo 11

Observamos que é sempre positivo para qualquer valor real de , já que . Isso significa que para todo , existe pelo menos um valor de que satisfaz a equação.

Passo 12

Além disso, quando , substituindo na função original:
Portanto, também está incluído na imagem.

Passo 13

Como a equação sempre tem solução real para qualquer , concluímos que a imagem da função é todos os números reais.

Resposta

í

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Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Obtenha os valores constantes e tais que: .