Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Vamos usar conceitos de funções, especificamente entendendo onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, percebemos que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, vamos resolver a equação do denominador para encontrar os valores de
que devem ser excluídos do domínio:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Portanto,
e
são os valores que fazem o denominador zero e, por isso, devem ser excluídos do domínio.
Passo 5
Assim, o domínio da função
é todos os números reais exceto
e
. Em notação matemática:
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir. Para isso, vamos resolver a equação
para
em termos de
.
Passo 7
Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Distribuindo
:
Passo 9
Rearranjando os termos para formar uma equação quadrática em
:
Passo 10
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde
,
e
. Para que essa equação tenha soluções reais, o discriminante
deve ser maior ou igual a zero:
Passo 11
Observamos que
é sempre positivo para qualquer valor real de
, já que
. Isso significa que para todo
, existe pelo menos um valor de
que satisfaz a equação.
Passo 12
Além disso, quando
, substituindo na função original:
Portanto,
também está incluído na imagem.
Passo 13
Como a equação sempre tem solução real para qualquer
, concluímos que a imagem da função
é todos os números reais.
Resposta
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Determine as funções elementares
e
de modo que
, quando
é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Obtenha os valores constantes
e
tais que:
.