Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A função que temos é . A gente precisa descobrir duas coisas: o domínio dessa função e a imagem dela.
- Domínio: é basicamente todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem dar problema. - Imagem: são todos os possíveis valores que a função pode retornar.
Pra resolver isso, a gente vai usar alguns conceitos básicos de funções trigonométricas, especialmente do seno.
Passo 2
Vamos começar pelo domínio. A função seno, , está definida para qualquer ângulo
. Ou seja, não tem valores de
que causem problemas, como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo.
No nosso caso, temos . A divisão por 2 não traz restrições para
, já que dividir um número real por 2 sempre dá um resultado válido. Portanto, o domínio da função
é todos os números reais.
Passo 3
Agora vamos para a imagem da função
. A função seno, , sempre gera valores entre -1 e 1, ou seja:
No nosso caso, a gente tem , que também vai estar entre -1 e 1:
Quando adicionamos 1 em cada parte da desigualdade, fica assim:
Então, a imagem da função
está entre 0 e 2.
Resposta
Domínio:
(todos os números reais)
Imagem:
Exercícios relacionados
Mostre que a função
definida por
não é contínua em
.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.