Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A função que temos é . A gente precisa descobrir duas coisas: o domínio dessa função e a imagem dela.
  • Domínio: é basicamente todos os valores de que a gente pode colocar na função sem dar problema.
  • Imagem: são todos os possíveis valores que a função pode retornar.
Pra resolver isso, a gente vai usar alguns conceitos básicos de funções trigonométricas, especialmente do seno.

Passo 2

Vamos começar pelo domínio. A função seno, , está definida para qualquer ângulo . Ou seja, não tem valores de que causem problemas, como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo.
No nosso caso, temos . A divisão por 2 não traz restrições para , já que dividir um número real por 2 sempre dá um resultado válido. Portanto, o domínio da função é todos os números reais.

Passo 3

Agora vamos para a imagem da função . A função seno, , sempre gera valores entre -1 e 1, ou seja:
No nosso caso, a gente tem , que também vai estar entre -1 e 1:
Quando adicionamos 1 em cada parte da desigualdade, fica assim:
Então, a imagem da função está entre 0 e 2.

Resposta

Domínio: (todos os números reais)
Imagem:

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não é contínua em .
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