Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função complexa
. Isso significa que precisamos descobrir todos os valores de
(números complexos) para os quais a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender sobre funções racionais no contexto dos números complexos e identificar onde a função pode não estar definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada (neste caso,
) para os quais a função está definida. Para funções racionais, que são frações envolvendo polinômios, a função não está definida onde o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Passo 3
Na nossa função
, o denominador é
. Queremos encontrar para quais valores de
esse denominador é igual a zero, porque esses valores não fazem parte do domínio.
Passo 4
Vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso significa que quando
, o denominador é zero e a função não está definida.
Passo 5
Portanto, o único valor que
não pode assumir é
. Todos os outros números complexos são válidos para o domínio da função.
Resposta
O domínio da função
é todos os números complexos
exceto
. Em notação matemática:
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Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Mostre que a função
definida por
não é contínua em
.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado: