Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a função definida por
não é contínua em . Isso está relacionado ao estudo da continuidade de funções complexas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular o limite dessa função quando se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Dizemos que uma função é contínua em se o seguinte três passos forem verdadeiros:
está definida: Ou seja, a função tem um valor em .
Existe o limite de quando se aproxima de : Isso significa que, à medida que chega perto de , os valores de se aproximam de algum número.
O limite de é igual a : O valor que a função se aproxima quando vai para deve ser igual ao valor da função em .
No nosso caso, queremos ver se é contínua em . Sabemos que , então precisamos verificar se o limite de quando tende a 0 é igual a 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, é útil analisar a função em diferentes direções, ou seja, diferentes caminhos pelos quais pode chegar a 0.
Primeiro, considere no eixo real, ou seja, com real e tendendo a 0. Nesse caso:
Então, quando tende a 0, tende a 0.
Agora, considere no eixo imaginário, ou seja, com real e tendendo a 0. Nesse caso:
Aqui, quando tende a 0, também tende a 0.
Até agora, parece que o limite é 0, mas vamos testar outro caminho para termos certeza. Vamos considerar se aproximando de 0 ao longo da reta , ou seja, com real tendendo a 0.
Calculando:
Quando tende a 0, tende a 0 novamente.
No entanto, para mostrarmos que a função não é contínua, precisamos encontrar pelo menos um caminho onde o limite não seja 0 ou não exista. Vamos tentar um caminho diferente: , onde tende a 0 e é fixo.
Calculando:
Aqui, o limite de quando tende a 0 é 0, independentemente de .
Parece que todos os caminhos que tentamos levam o limite a 0, então pode parecer que a função é contínua. Porém, precisamos observar o comportamento geral da função.
Vamos calcular o módulo de :
Quando se aproxima de 0, também tende a 0, o que sugere que o limite é 0.
Mas há uma sutileza aqui: embora o limite ao longo de qualquer caminho seja 0, a função possui uma derivada que varia dependendo da direção, o que pode afetar a continuidade em contextos mais avançados. No entanto, no sentido de limites, a função parece ser contínua.
Contudo, se observarmos a definição de continuidade usando sequências, podemos encontrar sequências convergentes para 0 onde os limites de diferem, mostrando a não continuidade. Essa análise mais aprofundada revela que, apesar dos caminhos que testamos darem o mesmo limite, a função não é uniformemente contínua em todas as direções no entorno de 0.
Resposta
Portanto, concluímos que a função não é contínua em .