Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, especialmente séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os sinais dos termos mudam de positivo para negativo a cada termo. No nosso caso, o termo alterna os sinais. Então, sim, essa série é alternada.

Passo 3

Agora, vamos testar a convergência absoluta. Isso significa que se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge, então a série original é absolutamente convergente. Vamos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 4

Para verificar se essa série converge, podemos comparar com uma série conhecida. Sabemos que a série é uma série p, que converge quando . No nosso caso, para todo . Como a série comparativa converge, pela Comparação Direta, a nossa série também converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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