Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1(2 n-1)!

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty (-1)^n-1(2 n-1)!
O nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e aplicar alguns testes matemáticos para determinar o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente olha para os valores absolutos dos termos da série e verifica se a nova série resultante também converge. Se a série dos valores absolutos converge, então a série original é absolutamente convergente.
Então, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1(2 n-1)! | = sumn=1^infty 1(2 n-1)!

Passo 3

Agora, vamos analisar essa nova série:
sumn=1^infty 1(2 n-1)!
Sabemos que o fatorial, representado por “!”, cresce muito rapidamente conforme n aumenta. Ou seja, fica enorme para valores maiores de n. Como os denominadores estão crescendo de forma super rápida, os termos da série estão ficando cada vez menores.
Um jeito de ver isso é comparando com a série , que sabemos que converge (na verdade, ela é a expansão da função ). Como cresce ainda mais rápido que , a série também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Isso significa que, independente do sinal alternante , a série converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados