Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função .
Conteúdo da matéria: Funções exponenciais, domínio e imagem de funções.
O que precisamos: Entender o que é domínio e imagem, e como as funções exponenciais se comportam.

Passo 2

Entendendo o domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Na função , temos uma função exponencial . As funções exponenciais estão definidas para todos os números reais. Portanto, não há restrições para .

Passo 3

Determinação do domínio: Como a função exponencial é definida para todo real, o domínio de também será todos os números reais.

Passo 4

Entendendo a imagem: A imagem (ou conjunto imagem) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando variável independente varia dentro do domínio.
Vamos analisar :
  1. A função exponencial sempre é positiva, ou seja, para todo .
  2. Ao somar 2, deslocamos a função exponencial para cima no gráfico.

Passo 5

Determinação da imagem:
  • Como , então .
  • Portanto, nunca será menor ou igual a 2.
  • Além disso, à medida que aumenta, cresce sem limite, fazendo com que também cresça sem limite.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, .
A imagem da função é o conjunto de todos os números maiores que 2, representado por .

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Determine a função quadrática que o gráfico passa pelos pontos: e .
Mostre, recorrendo à definição, que .
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