Mostre, recorrendo à definição, que lim z -i 1z=i.

Passo 1

Vamos resolver o limite que nos foi proposto: lim z -i 1z = i. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites no campo dos Números Complexos. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a entender como uma função se comporta perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que limz to z0 f(z) = L se, para todo número positivo pequeno epsilon, existe um número positivo de tal que, sempre que 0 < |z - z0| < de, então |f(z) - L| < epsilon. Basicamente, isso significa que podemos fazer f(z) ficar tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo z suficientemente próximo de z0.

Passo 3

No nosso caso, queremos mostrar que lim z -i 1z = i. Ou seja, queremos provar que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |z - (-i)| < de, então | 1z - i | < epsilon.

Passo 4

Vamos começar manipulando a expressão | 1z - i | para encontrar uma relação com |z + i|. Calculamos:
| 1z - i | = | 1 - i zz | = |1 - i z||z|

Passo 5

Queremos que |1 - i z||z| < epsilon. Para isso, precisamos encontrar uma forma de relacionar |1 - i z| com |z + i|. Observamos que:
1 - i z = 1 - i z = 1 + i ( - z )
z to -i Rightarrow -z to i
Rightarrow |1 - i z| = |1 + i (-z)| = |1 + i z'| onde z' = -z
Mas para simplificar, vamos considerar |z| próximo de | -i | = 1, então podemos supor que |z| está próximo de 1, por exemplo, |z| > 12.

Passo 6

Assumindo que |z| > 12, temos:
|1 - i z||z| <= |1| + |i z||z| = 1 + |z||z| <= 1 + 112 = 4
Isso mostra que a expressão está limitada, mas precisamos relacionar isso com epsilon.

Passo 7

Vamos voltar à expressão original e manipular de outra forma:
| 1z - i | = | 1 - i zz | = |1 - i z||z| = |i (z + i)||z| = |z + i||z|

Passo 8

Queremos que |z + i||z| < epsilon. Sabendo que |z| > 12, temos:
|z + i||z| <= 2 |z + i|
Portanto, para garantir que |z + i||z| < epsilon, basta que 2 |z + i| < epsilon, ou seja, |z + i| < epsilon2.

Passo 9

Então, escolhemos de. Assim, se 0 < |z + i| < de, temos:
| 1z - i | = |z + i||z| < epsilon2 times 2 = epsilon

Resposta

Portanto, mostramos que lim z -i 1z = i.

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