Vamos resolver o limite que nos foi proposto: . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites no campo dos Números Complexos. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a entender como uma função se comporta perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que se, para todo número positivo pequeno , existe um número positivo tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .
Passo 3
No nosso caso, queremos mostrar que . Ou seja, queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos começar manipulando a expressão | 1z - i | para encontrar uma relação com |z + i|. Calculamos:
| 1z - i | = | 1 - i zz | = |1 - i z||z|
Passo 5
Queremos que |1 - i z||z| < epsilon. Para isso, precisamos encontrar uma forma de relacionar |1 - i z| com |z + i|. Observamos que:
1 - i z = 1 - i z = 1 + i ( - z )
z to -i Rightarrow -z to i
Rightarrow |1 - i z| = |1 + i (-z)| = |1 + i z'| onde z' = -z
Mas para simplificar, vamos considerar |z| próximo de | -i | = 1, então podemos supor que |z| está próximo de 1, por exemplo, |z| > 12.