Vamos resolver o limite que nos foi proposto: . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites no campo dos Números Complexos. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a entender como uma função se comporta perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que se, para todo número positivo pequeno , existe um número positivo tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .
Passo 3
No nosso caso, queremos mostrar que . Ou seja, queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos começar manipulando a expressão para encontrar uma relação com . Calculamos:
Passo 5
Queremos que . Para isso, precisamos encontrar uma forma de relacionar com . Observamos que:
Mas para simplificar, vamos considerar próximo de , então podemos supor que está próximo de 1, por exemplo, .
Passo 6
Assumindo que , temos:
Isso mostra que a expressão está limitada, mas precisamos relacionar isso com .
Passo 7
Vamos voltar à expressão original e manipular de outra forma:
Passo 8
Queremos que . Sabendo que , temos:
Portanto, para garantir que , basta que , ou seja, .