Mostre, recorrendo à definição, que .

Passo 1

Vamos resolver o limite que nos foi proposto: . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo de Limites no campo dos Números Complexos. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a entender como uma função se comporta perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que se, para todo número positivo pequeno , existe um número positivo tal que, sempre que , então . Basicamente, isso significa que podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

No nosso caso, queremos mostrar que . Ou seja, queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos começar manipulando a expressão para encontrar uma relação com . Calculamos:

Passo 5

Queremos que . Para isso, precisamos encontrar uma forma de relacionar com . Observamos que:
Mas para simplificar, vamos considerar próximo de , então podemos supor que está próximo de 1, por exemplo, .

Passo 6

Assumindo que , temos:
Isso mostra que a expressão está limitada, mas precisamos relacionar isso com .

Passo 7

Vamos voltar à expressão original e manipular de outra forma:

Passo 8

Queremos que . Sabendo que , temos:
Portanto, para garantir que , basta que , ou seja, .

Passo 9

Então, escolhemos . Assim, se , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.