Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas funções elementares, e , de modo que a composição delas, ou seja, , seja igual à função dada . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa compor funções e como decompor uma função composta em funções mais simples.

Passo 2

Vamos pensar na composição de funções. A composição significa que primeiro aplicamos a função no , e depois aplicamos a função no resultado de . Ou seja:
Queremos que isso seja igual a .

Passo 3

Observando a função , podemos identificar duas partes principais:
  1. A parte , que é uma função polinomial.
  2. A função tangente aplicada ao resultado dessa parte.
Vamos atribuir a primeira parte a :
Isso significa que vai elevar ao cubo.

Passo 4

Agora, precisamos definir a função de modo que, ao aplicá-la em , obtenhamos . Já que , queremos que:
Substituindo na expressão, ficamos com:
Para que isso seja verdade para qualquer , a função deve ser:
Aqui, usamos como uma variável genérica para representar o resultado de .

Resposta

As funções elementares são:
e

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Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
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Obtenha os valores constantes e tais que: .
Resolva as equações: