Determine as funções elementares
e
de modo que
, quando
é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas funções elementares,
e
, de modo que a composição delas, ou seja,
, seja igual à função dada
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa compor funções e como decompor uma função composta em funções mais simples.
Passo 2
Vamos pensar na composição de funções. A composição
significa que primeiro aplicamos a função
no
, e depois aplicamos a função
no resultado de
. Ou seja:
Queremos que isso seja igual a
.
Passo 3
Observando a função
, podemos identificar duas partes principais:
- A parte
, que é uma função polinomial. - A função tangente aplicada ao resultado dessa parte.
Vamos atribuir a primeira parte a
:
Isso significa que
vai elevar
ao cubo.
Passo 4
Agora, precisamos definir a função
de modo que, ao aplicá-la em
, obtenhamos
. Já que
, queremos que:
Substituindo
na expressão, ficamos com:
Para que isso seja verdade para qualquer
, a função
deve ser:
Aqui, usamos
como uma variável genérica para representar o resultado de
.
Resposta
As funções elementares são:
e
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Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
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Obtenha os valores constantes
e
tais que:
.
Resolva as equações: