Obtenha os valores constantes e tais que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de frações parciais! A gente tem que encontrar os valores das constantes , e na seguinte expressão:
Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que serve para decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples. Vamos precisar fatorar o denominador e igualar os numeradores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar esse polinômio da seguinte forma:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando os dois lados da equação por :
Simplificando a expressão:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que as equações sejam iguais para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Sabemos que . Vamos substituir esse valor nas outras equações:

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar e substituir na segunda:
Então, substituindo na equação :

Resposta

Os valores das constantes são , e .

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Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Resolva as equações:
Resolva as equações: