Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, a imagem, o período e esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente a cotangente, e entender como o valor de afeta essas propriedades.

Passo 2

Dominio:
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A cotangente é definida como . Portanto, está indefinida quando , ou seja, quando , onde é qualquer inteiro.
Então, o domínio de é todos os reais exceto aqueles onde .
Matematicamente:
í

Passo 3

Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Sabemos que a cotangente pode assumir todos os valores reais, ou seja, vai de a .
Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Período:
O período de uma função trigonométrica é o intervalo após o qual a função se repete.
A cotangente básica tem período , o que significa que .
Quando introduzimos um fator dentro da função, o período muda. A fórmula para o período de é:
Então, o período de é .

Passo 5

Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico de , seguimos estes passos:
  1. Identificar o Período: Sabemos que o período é . Isso nos indica a distância entre duas assimptotas verticais consecutivas.
  2. Assíntotas Verticais: A cotangente tem assíntotas verticais onde a função não está definida, ou seja, onde . Como vimos no domínio, isso ocorre em , onde é inteiro.
  3. Comportamento da Função: Entre duas assíntotas, a cotangente começa em , diminui passando por zero e vai para .
  4. Repetição: Esse padrão se repete a cada período .
Exemplo de Gráfico:
Imagine desenhar linhas verticais em para cada inteiro . Entre cada par de assíntotas, desenhe uma curva que desce de a , cruzando o eixo no meio.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Período:
  • Gráfico: O gráfico de consiste em várias ramos contínuos entre assíntotas verticais em (onde é inteiro). Cada ramo inicia em , decresce passando pelo ponto no meio do período e vai para antes da próxima assíntota.

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