Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, a imagem, o período e esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente a cotangente, e entender como o valor de
afeta essas propriedades.
Passo 2
Dominio:
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A cotangente é definida como
. Portanto,
está indefinida quando
, ou seja, quando
, onde
é qualquer inteiro.
Então, o domínio de
é todos os reais
exceto aqueles onde
.
Matematicamente:
Passo 3
Imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Sabemos que a cotangente pode assumir todos os valores reais, ou seja, vai de
a
.
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Período:
O período de uma função trigonométrica é o intervalo após o qual a função se repete.
A cotangente básica
tem período
, o que significa que
.
Quando introduzimos um fator
dentro da função, o período muda. A fórmula para o período
de
é:
Então, o período de
é
.
Passo 5
Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico de
, seguimos estes passos:
-
Identificar o Período: Sabemos que o período é
. Isso nos indica a distância entre duas assimptotas verticais consecutivas. -
Assíntotas Verticais: A cotangente tem assíntotas verticais onde a função não está definida, ou seja, onde
. Como vimos no domínio, isso ocorre em , onde é inteiro. -
Comportamento da Função: Entre duas assíntotas, a cotangente começa em
, diminui passando por zero e vai para . -
Repetição: Esse padrão se repete a cada período
.
Exemplo de Gráfico:
Imagine desenhar linhas verticais em
para cada inteiro
. Entre cada par de assíntotas, desenhe uma curva que desce de
a
, cruzando o eixo
no meio.
Resposta
-
Domínio:
-
Imagem:
-
Período:
-
Gráfico: O gráfico de
consiste em várias ramos contínuos entre assíntotas verticais em (onde é inteiro). Cada ramo inicia em , decresce passando pelo ponto no meio do período e vai para antes da próxima assíntota.
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