Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a função . A gente vai descobrir o domínio, a imagem, o período dessa função e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a função seno, já que a cosecante é o inverso do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio são todos os valores de onde a função está definida. Como , a função só está definida quando não é zero. Então, precisamos encontrar onde é igual a zero.

Passo 3

A função seno é igual a zero em , onde é qualquer inteiro. Isso significa que não está definida nesses pontos. Portanto, o domínio de são todos os números reais menos os múltiplos de .

Passo 4

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de . Como é e varia entre -1 e 1 (mas nunca é zero no domínio), pode assumir qualquer valor real menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Ou seja, a imagem é menos o intervalo (-1, 1).

Passo 5

Sobre o período da função, como a função seno tem período , e a cosecante é o inverso dela, o período da também é . Isso significa que o gráfico se repete a cada unidades.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. A tem assíntotas verticais nos pontos onde (ou seja, ). Entre essas assíntotas, o gráfico está acima de 1 ou abaixo de -1, formando curvas que se aproximam das assíntotas conforme se afasta de elas.

Resposta

  • Domínio: e , onde é qualquer inteiro.
  • Imagem:
  • Período:
  • Gráfico: Uma série de curvas que se aproximam das linhas verticais , com cada curva alternando entre estar acima de 1 e abaixo de -1, repetindo-se a cada unidades.

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