Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a função
. A gente vai descobrir o domínio, a imagem, o período dessa função e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a função seno, já que a cosecante é o inverso do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio são todos os valores de
onde a função está definida. Como
, a função só está definida quando
não é zero. Então, precisamos encontrar onde
é igual a zero.
Passo 3
A função seno é igual a zero em
, onde
é qualquer inteiro. Isso significa que
não está definida nesses pontos. Portanto, o domínio de
são todos os números reais menos os múltiplos de
.
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de
. Como
é
e
varia entre -1 e 1 (mas nunca é zero no domínio),
pode assumir qualquer valor real menor ou igual a -1 ou maior ou igual a 1. Ou seja, a imagem é
menos o intervalo (-1, 1).
Passo 5
Sobre o período da função, como a função seno tem período
, e a cosecante é o inverso dela, o período da
também é
. Isso significa que o gráfico se repete a cada
unidades.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. A
tem assíntotas verticais nos pontos onde
(ou seja,
). Entre essas assíntotas, o gráfico está acima de 1 ou abaixo de -1, formando curvas que se aproximam das assíntotas conforme
se afasta de elas.
Resposta
- Domínio:
e , onde é qualquer inteiro. - Imagem:
- Período:
- Gráfico: Uma série de curvas que se aproximam das linhas verticais
, com cada curva alternando entre estar acima de 1 e abaixo de -1, repetindo-se a cada unidades.
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