Determine a expressão geral dos arcos que satisfazem a expressão:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação trigonométrica . Aqui, a gente vai usar conceitos de álgebra e trigonometria, especificamente a resolução de equações quadráticas aplicadas a funções trigonométricas. Para isso, vamos considerar como uma variável, resolver a equação quadrática e depois encontrar os ângulos que satisfazem essas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por uma variável, por exemplo, . Assim, a equação fica:
Isso transforma a nossa equação trigonométrica em uma equação quadrática mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, , e .

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:

Passo 5

Assim, encontramos duas soluções para :
Mas atenção: o seno de um ângulo só pode variar entre -1 e 1. Então, não é uma solução válida, já que excede o intervalo permitido.

Passo 6

Portanto, a única solução válida para é:
Voltando à nossa substituição inicial, isso significa que:

Passo 7

Agora, vamos encontrar todos os ângulos que satisfazem . Sabemos que quando é ou radianos, e isso se repete a cada período completo de radianos.

Passo 8

Assim, a expressão geral para os arcos que satisfazem a equação é:
Isso significa que qualquer ângulo que seja mais múltiplos completos de (ou radianos) será uma solução.

Resposta

A solução geral é:

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