Determine a expressão geral dos arcos que satisfazem a expressão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação trigonométrica
. Aqui, a gente vai usar conceitos de álgebra e trigonometria, especificamente a resolução de equações quadráticas aplicadas a funções trigonométricas. Para isso, vamos considerar
como uma variável, resolver a equação quadrática e depois encontrar os ângulos
que satisfazem essas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por uma variável, por exemplo,
. Assim, a equação fica:
Isso transforma a nossa equação trigonométrica em uma equação quadrática mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Passo 5
Assim, encontramos duas soluções para
:
Mas atenção: o seno de um ângulo só pode variar entre -1 e 1. Então,
não é uma solução válida, já que excede o intervalo permitido.
Passo 6
Portanto, a única solução válida para
é:
Voltando à nossa substituição inicial, isso significa que:
Passo 7
Agora, vamos encontrar todos os ângulos
que satisfazem
. Sabemos que
quando
é
ou
radianos, e isso se repete a cada período completo de
radianos.
Passo 8
Assim, a expressão geral para os arcos
que satisfazem a equação é:
Isso significa que qualquer ângulo que seja
mais múltiplos completos de
(ou
radianos) será uma solução.
Resposta
A solução geral é:
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Expresse em radianos:
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Encontre o domínio das seguintes funções:
Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico das seguintes funções: